(Boulos, Exercício Resolvido 15-4) Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações r1(t)=(0,0,0)+t(1,2,4) e r2(t)=(1,0,-2)+t(-1,-1,-1). As trajetórias são concorrentes? Pode haver colisão entre essas partículas?

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias de partículas em forma de linhas retas no espaço:
r1(t) = (0,0,0) + t,(1,2,4) e
r2(t) = (1,0,-2) + t,(-1,-1,-1).
O que queremos é (a) saber se as duas retas são concorrentes (isto é, se existe algum ponto em que elas se cruzam) e (b) verificar se as partículas chegam a esse ponto no mesmo instante — condição necessária para haver colisão.

Passo 2

Para ver se as retas se intersectam, introduzimos parâmetros distintos t1 e t2 e impomos
r1(t1) ;=;r2(t2)
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
t1 = 1 - t2,[6pt] 2,t1 = -,t2,[6pt] 4,t1 = -2 - t2 ]

Passo 3

Da primeira equação vem t2 = 1 - t1. Substituindo na segunda:
2,t1 = -l(1 - t1r) Longrightarrow 2,t1 = -1 + t1 Longrightarrow t1 = -1
Logo t2 = 1 - (-1) = 2. Verificando na terceira equação:
4,(-1) = -2 - (2) Longrightarrow -4 = -4,
então tudo é consistente.

Passo 4

Como encontramos (t1,t2) = (-1,2), as retas se cruzam no ponto
r1(-1) = l(-1,,-2,,-4r) ;=;r2(2)
Portanto, as trajetórias são concorrentes.

Passo 5

Para colisão, precisaríamos que as partículas estivessem nesse ponto no mesmo instante, ou seja, t1 = t2. Aqui ficamos com t1=-1neq2=t2, então elas passam pelo mesmo lugar em instantes diferentes.

Resposta

As trajetórias são concorrentes (intersectam-se em (-1,-2,-4)), mas não há colisão porque cada partícula chega ali em tempos diferentes.

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