Encontre uma base ortonormal para o subespaço W in C^3, gerado por u1=(1, i, 1) e u2=(1+i, 0,2).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de W=spanu1,u2subsetC^3, com
u1=(1,i,1), u2=(1+i,0,2)
O método é o Processo de Gram–Schmidt usando o produto interno hermitiano
lang<= v,wrang<==sumk=1^3vk,wk.

Passo 2

Vamos primeiro normalizar u1. Calculamos
|u1|^2=lang<= u1,u1rang<= =1cdot1+icdot i+1cdot1 =1+(-i)(i)+1=1+1+1=3,
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v1=u1|u1| =1raiz3(1,i,1)

Passo 3

Projetamos u2 sobre v1 e subtraímos para obter o componente ortogonal:
lang<= v1,u2rang<= =1raiz3l(1cdot(1+i)+(-i)cdot0+1cdot2r) =3+iraiz3,
projv1(u2) =lang<= v1,u2rang<=,v1 =3+iraiz3;1raiz3(1,i,1) =3+i3(1,i,1)
Então
u2'=u2-projv1(u2) =l(1+i,,0,,2r) -3+i3(1,i,1) =l(tfrac2i3,,tfrac1-3i3,,tfrac3-i3r)
Para simplificar, definimos
w=3,u2'=(2i,;1-3i,;3-i)

Passo 4

Agora normalizamos w. Primeiro
|w|^2 =lang<= w,wrang<= =2i,(2i)+1-3i,(1-3i)+3-i,(3-i) =4+10+10=24
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v2=wraiz24 =12raiz6,(2i,;1-3i,;3-i)

Resposta

Uma base ortonormal de W é
v1=1raiz3(1,i,1), v2=12raiz6(2i,;1-3i,;3-i)

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