Seja
o espaço vetorial dos polinômios sobre
. Mostre que
define um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
dos polinômios em
e a aplicação
Para provar que isso é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
- linearidade na primeira componente (bilinearidade se considerarmos também a segunda),
- simetria,
- definitude positiva.
Passo 2
Linearidade na primeira componente. Dados
e
, pela linearidade do integral
e
Passo 3
Simetria. Como a multiplicação de funções é comutativa, temos
Passo 4
Definitude positiva. Para todo
,
porque
é não negativa em
. Se
, então
para todo
, ou seja,
em
. Como
é polinômio e coincide com zero em um intervalo, segue que
em
.
Resposta
Portanto,
satisfaz linearidade, simetria e definitude positiva, logo é um produto interno em
.