Seja V o espaço vetorial dos polinômios sobre R. Mostre que lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t define um produto interno em V.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V dos polinômios em R[t] e a aplicação
lang<= f,grang<= ;=;integral0^1f(t),g(t),dt
Para provar que isso é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
  1. linearidade na primeira componente (bilinearidade se considerarmos também a segunda),
  2. simetria,
  3. definitude positiva.

Passo 2

Linearidade na primeira componente. Dados f1,f2,gin V e alphainR, pela linearidade do integral
lang<= f1+f2,grang<= =integral0^1l(f1(t)+f2(t)r)g(t),dt =integral0^1f1(t)g(t),dt+integral0^1f2(t)g(t),dt =lang<= f1,grang<=+lang<= f2,grang<=
e
lang<= alpha f1,grang<= =integral0^1l(alpha f1(t)r)g(t),dt =alphaintegral0^1f1(t)g(t),dt =alphalang<= f1,grang<=

Passo 3

Simetria. Como a multiplicação de funções é comutativa, temos
lang<= f,grang<= =integral0^1f(t),g(t),dt =integral0^1g(t),f(t),dt =lang<= g,frang<=

Passo 4

Definitude positiva. Para todo fin V,
lang<= f,frang<= =integral0^1f(t)^2,dt>= 0
porque f(t)^2 é não negativa em [0,1]. Se lang<= f,frang<==0, então f(t)^2=0 para todo tin[0,1], ou seja, f(t)=0 em [0,1]. Como f é polinômio e coincide com zero em um intervalo, segue que fequiv 0 em R.

Resposta

Portanto, lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt satisfaz linearidade, simetria e definitude positiva, logo é um produto interno em V.

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