(Winterle, Cap. 6, exemplo 3) A reta lx=5+3 t y=-4+2 t z=1+t é ortogonal a um plano que passa pelo ponto (2,1,-2). Determine a equação geral desse plano.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
x = 5 + 3t, y = -4 + 2t, z = 1 + t
e pede um plano que seja ortogonal a essa reta e passe pelo ponto (2,1,-2). Trata-se de geometria analítica no espaço, usando vetores diretores e normais.

Passo 2

Das equações paramétricas da reta, extraímos o vetor diretor
v = (3,,2,,1)

Passo 3

Como o plano é ortogonal à reta, o vetor normal n do plano é paralelo a v. Podemos então tomar
n = (3,,2,,1)

Passo 4

A equação geral de um plano com normal n=(a,b,c) que passa por (x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Aqui a=3, b=2, c=1 e (x0,y0,z0) = (2,1,-2).

Passo 5

Substituindo esses valores, obtemos
3(x-2) + 2(y-1) + 1(z+2) = 0
Desenvolvendo,
3x - 6 + 2y - 2 + z + 2 = 0 Longrightarrow 3x + 2y + z - 6 = 0

Resposta

3x + 2y + z - 6 = 0

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