(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto
dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por série de potências em torno de
. O método é: trocar
, desenvolver
calcular
e
, substituir na EDO e igualar coeficientes de
para achar uma relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Definimos
, então
Também escrevemos
.
Passo 3
Substituindo em
e reagrupando potências de
, obtemos
Como isso vale para todo
, os coeficientes devem ser nulos.
Passo 4
De
tiramos
Os dois primeiros coeficientes
e
são livres e correspondem a
e
.
Passo 5
As duas soluções fundamentais são obtidas escolhendo
e
. Por exemplo, para
:
e para
análogo. A solução geral é
com
e
gerados pela recorrência acima.
Resposta
A relação de recorrência em torno de
(isto é,
) é
com
e
. A solução geral é
onde
vem de
e
de
.