(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado.
ddoty-t doty-y=0, t0=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ddot y - t,dot y - y = 0
por série de potências em torno de t0=1. O método é: trocar t=1+u, desenvolver
y(u)=sumn=0^inftyanu^n,
calcular y' e y'', substituir na EDO e igualar coeficientes de u^n para achar uma relação de recorrência entre os an.

Passo 2

Definimos u=t-1, então
y(u)=sumn=0^inftyanu^n, dydt=dydu=sumn=1^inftyn,anu^n-1, d^2ydt^2=sumn=2^inftyn(n-1),anu^n-2
Também escrevemos t=1+u.

Passo 3

Substituindo em ddot y - t,dot y - y=0 e reagrupando potências de u, obtemos
summ=0^inftyl[(m+2)(m+1)am+2-(m+1)am+1-m,am-amr]u^m=0
Como isso vale para todo m, os coeficientes devem ser nulos.

Passo 4

De (m+2)(m+1)am+2-(m+1)am+1-(m+1)am=0 tiramos
am+2=am+1+amm+2, m>=0
Os dois primeiros coeficientes a0 e a1 são livres e correspondem a y(1) e y'(1).

Passo 5

As duas soluções fundamentais são obtidas escolhendo (a0,a1)=(1,0) e (0,1). Por exemplo, para (1,0):
a2=1+02,; a3=a2+03,; a4=a3+a24,dots
e para (0,1) análogo. A solução geral é
y=C1sumn=0^inftyan^(1)u^n +C2sumn=0^inftyan^(2)u^n,
com u=t-1 e an^(1),an^(2) gerados pela recorrência acima.

Resposta

A relação de recorrência em torno de t0=1 (isto é, u=t-1) é
am+2=am+1+amm+2, m>=0,
com a0=y(1) e a1=y'(1). A solução geral é
y(t) =C1sumn=0^inftyan^(1)(t-1)^n +C2sumn=0^inftyan^(2)(t-1)^n,
onde an^(1) vem de (1,0) e an^(2) de (0,1).

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