A partir daqui use regras de derivação da seção 3.1 para derivar
Ache os pontos sobre a curva y=2 x^3+3 x^2-12 x+1, onde a tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = 2 x^3 + 3 x^2 - 12 x + 1
e pede os pontos onde a tangente é horizontal. Para isso, vamos usar as regras de derivação da seção 3.1 (regra da potência e regra da soma) e lembrar que tangente horizontal ocorre quando y'=0.

Passo 2

Para achar a derivada de y aplicamos a regra da potência em cada termo e a regra da soma:
y' = ddx(2 x^3) + ddx(3 x^2) - ddx(12 x) + ddx(1)
Logo,
y' = 6 x^2 + 6 x - 12

Passo 3

Impondo y'=0 para tangente horizontal, temos
6 x^2 + 6 x - 12 = 0 Longrightarrow x^2 + x - 2 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau,
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
portanto
x = 1 ou x = -2

Passo 4

Agora calculamos os correspondentes valores de y na curva original:
Para x=1:
y(1) = 2cdot1^3 + 3cdot1^2 - 12cdot1 + 1 = 2 + 3 - 12 + 1 = -6
Para x=-2:
y(-2) = 2cdot(-2)^3 + 3cdot(-2)^2 - 12cdot(-2) + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21

Resposta

Os pontos onde a tangente é horizontal são (1,-6) e (-2,21).

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