(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado.
ddoty+k^2 t^2 y=0, t0=0, k constante

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ddot y + k^2,t^2,y = 0
por série de potências em torno de t0=0.
Trata-se de um ponto ordinário, então podemos assumir uma série de potências clássica e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Assumimos
y(t) ;=; sumn=0^infty an,t^n
Então
ddot y(t) = sumn=0^infty n(n-1),an,t^,n-2 e k^2,t^2,y(t) = k^2sumn=0^infty an,t^,n+2

Passo 3

Substituindo na equação diferencial
sumn=0^infty n(n-1),an,t^n-2 ;+; k^2sumn=0^infty an,t^n+2 =0
Reindexando de modo que ambas somas fiquem em potências t^m, chega-se a
summ=0^inftyl[(m+2)(m+1),am+2+k^2,am-2r],t^m=0
(com a-1=a-2=0).

Passo 4

Da igualdade coeficiente a coeficiente obtemos a relação de recorrência
(m+2)(m+1),am+2 + k^2,am-2 = 0 Longrightarrow am+2 = -k^2(m+2)(m+1),am-2
Para m=0,1 vê-se imediatamente a2=a3=0. A cada passo a recorrência “liga” coeficientes com diferença de índice 4, o que separa as soluções em dois ramos – um gerado por a0 (termos pares) e outro por a1 (termos ímpares).

Passo 5

Calculando os primeiros coeficientes não nulos em cada ramo:
Para o ramo par ( a0 arbitrário):
a2=0, a4=-k^24cdot3,a0=-k^212a0, a6=0, a8=-k^28cdot7,a4=k^48cdot7cdot4cdot3,a0 =k^4672a0, ;dots
Para o ramo ímpar ( a1 arbitrário):
a3=0, a5=-k^25cdot4,a1=-k^220a1, a7=0, a9=-k^29cdot8,a5=k^49cdot8cdot5cdot4,a1 =k^41440a1, ;dots

Passo 6

Portanto a solução geral é combinação linear dos dois ramos:
y(t)=A,y1(t)+B,y2(t),
onde podemos tomar A=a0 e B=a1 e definir
y1(t)=1 -k^212,t^4 +k^4672,t^8 -cdots,
y2(t)=t -k^220,t^5 +k^41440,t^9 -cdots

Resposta

A solução em série de potências em torno de t=0 é
y(t)=Al(1-tfrack^212t^4+tfrack^4672t^8-cdotsr) ;+; Bl(t-tfrack^220t^5+tfrack^41440t^9-cdotsr),
com A e B constantes arbitrárias.

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