(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto
dado.
constante
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por série de potências em torno de
.
Trata-se de um ponto ordinário, então podemos assumir uma série de potências clássica e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Trata-se de um ponto ordinário, então podemos assumir uma série de potências clássica e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Assumimos
Então
Passo 3
Substituindo na equação diferencial
Reindexando de modo que ambas somas fiquem em potências
, chega-se a
(com
).
Passo 4
Da igualdade coeficiente a coeficiente obtemos a relação de recorrência
Para
vê-se imediatamente
. A cada passo a recorrência “liga” coeficientes com diferença de índice 4, o que separa as soluções em dois ramos – um gerado por
(termos pares) e outro por
(termos ímpares).
Passo 5
Calculando os primeiros coeficientes não nulos em cada ramo:
Para o ramo par (
arbitrário):
Para o ramo ímpar (
arbitrário):
Passo 6
Portanto a solução geral é combinação linear dos dois ramos:
onde podemos tomar
e
e definir
Resposta
A solução em série de potências em torno de
é
com
e
constantes arbitrárias.