(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto
dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
em torno de
usando série de potências. O conteúdo aqui é o método de séries de potências para pontos regulares: assumimos
e obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série. Primeiro,
de onde
Para combinar índices, fazemos
em
, obtendo
Passo 3
Substituímos na equação diferencial:
Para que isso seja zero para todo
, cada coeficiente deve anular-se:
Passo 4
Definimos a relação de recorrência
válida para
. Isso mostra que todos os coeficientes são expressos em termos de
e
, que ficam livres.
Passo 5
Separate as duas sequências:
para (even), temos
para
para
(odd),
Passo 6
Escrevemos a série completa como soma dos termos pares e ímpares:
Passo 7
Reconhecemos as séries de Taylor de
e
:
Logo a solução geral é
Resposta
A solução geral da equação
em torno de
é
onde
e
são constantes arbitrárias.