(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado.
ddoty-y=0, t0=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ddoty-y=0
em torno de t0=0 usando série de potências. O conteúdo aqui é o método de séries de potências para pontos regulares: assumimos
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
e obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série. Primeiro,
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
de onde
doty(t)=sumn=1^inftyn,ant^n-1,
ddoty(t)=sumn=2^inftyn(n-1),ant^n-2
Para combinar índices, fazemos nmapsto n+2 em ddot y, obtendo
ddoty(t)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n

Passo 3

Substituímos na equação diferencial:
ddoty-y =sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2-anr]t^n=0
Para que isso seja zero para todo t, cada coeficiente deve anular-se:

Passo 4

Definimos a relação de recorrência
(n+2)(n+1),an+2-an=0 Longrightarrow an+2=an(n+2)(n+1),
válida para n>=0. Isso mostra que todos os coeficientes são expressos em termos de a0 e a1, que ficam livres.

Passo 5

Separate as duas sequências:
para n=2k (even), temos
a2k=a2k-2(2k)(2k-1) =cdots =a0(2k)!;
para n=2k+1 (odd),
a2k+1=a2k-1(2k+1)(2k) =cdots =a1(2k+1)!

Passo 6

Escrevemos a série completa como soma dos termos pares e ímpares:
y(t) =sumk=0^inftya2k,t^2k +sumk=0^inftya2k+1,t^2k+1 =a0sumk=0^inftyt^2k(2k)! +a1sumk=0^inftyt^2k+1(2k+1)!

Passo 7

Reconhecemos as séries de Taylor de cosh t e sinh t:
cosh t=sumk=0^inftyt^2k(2k)!, sinh t=sumk=0^inftyt^2k+1(2k+1)!
Logo a solução geral é
y(t)=a0cosh t + a1sinh t

Resposta

A solução geral da equação ddot y - y=0 em torno de t0=0 é
y(t)=C1cosh t + C2sinh t,
onde C1=a0 e C2=a1 são constantes arbitrárias.

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