Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
\ln (t) \frac{d^{2} Q}{d t^{2}}+e^{t} \frac{d^{5} Q}{d t^{5}}+\frac{Q}{\sin (t)}=t^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\ln(t)\,\frac{d^{2}Q}{dt^{2}} + e^{t}\,\frac{d^{5}Q}{dt^{5}} + \frac{Q}{\sin(t)} = t^{3}
e pede que a-classifiquemos quanto a: ordem da equação; b-se é EDO ou EDP; c-se é linear ou não-linear; d-se é homogênea ou não-homogênea. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a equação envolve derivadas de Q até a quinta ordem, os coeficientes são funções de t ( \ln(t), e^{t}, 1/\sin(t)) e o termo do lado direito é t^{3}.

Passo 2

O que significa “ordem” e como achar aqui. A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Ou seja, olhamos todos os termos com derivadas de Q e pegamos a maior ordem. Na equação dada aparecem as derivadas
\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}\quad\text{e}\quad\frac{d^{5}Q}{dt^{5}}.
A maior ordem é a quinta ordem, portanto a equação é de ordem 5.

Passo 3

Como decidir se é EDO (ordinária) ou EDP (parcial). Uma equação é ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de uma única variável independente e aparecem derivadas em relação a essa variável apenas. É parcial (EDP) quando a função depende de várias variáveis e há derivadas parciais. Aqui a incógnita é Q que aparece diferenciada somente em relação a t. Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma EDO (equação diferencial ordinária).

Passo 4

Definição de linearidade (aulas rápidas). Uma EDO é linear se a incógnita Q e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que dependem unicamente da variável independente ( t) e somadas entre si — isto é, não aparecem produtos entre Q e suas derivadas, nem funções não-lineares de Q (como \sin(Q), Q^{2}, etc.). A forma geral de uma EDO linear de ordem n é
a_{n}(t)\,\frac{d^{n}Q}{dt^{n}} + a_{n-1}(t)\,\frac{d^{n-1}Q}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{1}(t)\,\frac{dQ}{dt} + a_{0}(t)\,Q = g(t),
onde os a_{k}(t) dependem só de t e g(t) é o termo fonte. Na nossa equação os termos são
\ln(t)\,\frac{d^{2}Q}{dt^{2}},\quad e^{t}\,\frac{d^{5}Q}{dt^{5}},\quad \frac{1}{\sin(t)}\,Q
e o lado direito é t^{3}. Esses termos mostram que Q e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (multiplicadas por funções de t). Não há produtos tipo Q\cdot Q' nem \sin(Q) nem Q^{2}. Portanto a equação é linear. Observação extra: os coeficientes a_{k}(t) são funções de t (por exemplo a_{5}(t)=e^{t}, a_{2}(t)=\ln(t), a_{0}(t)=1/\sin(t)), então é uma EDO linear com coeficientes variáveis (não-constantes).

Passo 5

Exemplos para fixar (pequeno complemento didático). Exemplos do que seria não-linear: \frac{dQ}{dt} = Q^{2} ou \frac{d^{2}Q}{dt^{2}} + Q\frac{dQ}{dt} = 0 são não-lineares porque aparecem produtos ou potências da incógnita. Já \frac{d^{2}Q}{dt^{2}} + t\,\frac{dQ}{dt} + \cos(t)\,Q = 0 é linear (coeficientes dependem de t mas tudo é linear em Q).

Passo 6

Definição de homogênea vs não-homogênea e aplicação. Uma EDO linear é dita homogênea se o termo do lado direito g(t) for igual a zero para todos os t. Se g(t)\neq 0 para algum t, chamamos de não-homogênea (ou inhomogênea). Na nossa equação o lado direito é t^{3}, que não é a função zero. Portanto a equação é não-homogênea.

Passo 7

Observações sobre domínio (importante para a validade dos coeficientes). Os coeficientes envolvem \ln(t) e 1/\sin(t). Para \ln(t) faz sentido precisamos de t>0. Para 1/\sin(t) precisamos de \sin(t)\neq 0, isto é t\neq k\pi para k\in\mathbb{Z}. Portanto o domínio natural onde a equação está bem definida é
t>0\quad\text{e}\quad t\neq k\pi\\ \text{para}\\ k\in\mathbb{N}.
(Observação: k=0 corresponderia a t=0 que já é excluído por \ln(t).)

Passo 8

Resumo final da classificação, em linguagem direta: a equação tem ordem igual à maior derivada que aparece; é ordinária porque depende de uma única variável; é linear porque Q e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de t; é não-homogênea porque o termo à direita é t^{3}\neq 0. Também é linear com coeficientes variáveis e está definida para t>0 com t\neq k\pi ( k\in\mathbb{N}).

Resposta

Ordem: 5
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária)
Linearidade: linear (com coeficientes dependentes de t)
Homogeneidade: não-homogênea (termo fonte t^{3}\neq 0)

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