Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a-classifiquemos quanto a: ordem da equação; b-se é EDO ou EDP; c-se é linear ou não-linear; d-se é homogênea ou não-homogênea. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a equação envolve derivadas de
até a quinta ordem, os coeficientes são funções de
(
,
,
) e o termo do lado direito é
.
Passo 2
O que significa “ordem” e como achar aqui. A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Ou seja, olhamos todos os termos com derivadas de
e pegamos a maior ordem. Na equação dada aparecem as derivadas
A maior ordem é a quinta ordem, portanto a equação é de ordem
.
Passo 3
Como decidir se é EDO (ordinária) ou EDP (parcial). Uma equação é ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de uma única variável independente e aparecem derivadas em relação a essa variável apenas. É parcial (EDP) quando a função depende de várias variáveis e há derivadas parciais. Aqui a incógnita é
que aparece diferenciada somente em relação a
. Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma EDO (equação diferencial ordinária).
Passo 4
Definição de linearidade (aulas rápidas). Uma EDO é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que dependem unicamente da variável independente (
) e somadas entre si — isto é, não aparecem produtos entre
e suas derivadas, nem funções não-lineares de
(como
,
, etc.). A forma geral de uma EDO linear de ordem
é
onde os
dependem só de
e
é o termo fonte. Na nossa equação os termos são
e o lado direito é
. Esses termos mostram que
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (multiplicadas por funções de
). Não há produtos tipo
nem
nem
. Portanto a equação é linear. Observação extra: os coeficientes
são funções de
(por exemplo
,
,
), então é uma EDO linear com coeficientes variáveis (não-constantes).
Passo 5
Exemplos para fixar (pequeno complemento didático). Exemplos do que seria não-linear:
ou
são não-lineares porque aparecem produtos ou potências da incógnita. Já
é linear (coeficientes dependem de
mas tudo é linear em
).
Passo 6
Definição de homogênea vs não-homogênea e aplicação. Uma EDO linear é dita homogênea se o termo do lado direito
for igual a zero para todos os
. Se
para algum
, chamamos de não-homogênea (ou inhomogênea). Na nossa equação o lado direito é
, que não é a função zero. Portanto a equação é não-homogênea.
Passo 7
Observações sobre domínio (importante para a validade dos coeficientes). Os coeficientes envolvem
e
. Para
faz sentido precisamos de
. Para
precisamos de
, isto é
para
. Portanto o domínio natural onde a equação está bem definida é
(Observação:
corresponderia a
que já é excluído por
.)
Passo 8
Resumo final da classificação, em linguagem direta: a equação tem ordem igual à maior derivada que aparece; é ordinária porque depende de uma única variável; é linear porque
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de
; é não-homogênea porque o termo à direita é
. Também é linear com coeficientes variáveis e está definida para
com
(
).
Resposta
Ordem:
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária)
Linearidade: linear (com coeficientes dependentes de )
Homogeneidade: não-homogênea (termo fonte )
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária)
Linearidade: linear (com coeficientes dependentes de
Homogeneidade: não-homogênea (termo fonte