Encontre o sistema de equações diferenciais de primeira ordem em função das variáveis de estado do seguinte circuito RLC. Defina as variáveis de estado como x_{1}=i_{L}, x_{2}=V_{c}.

Passo 1

O enunciado pede as equações de estado de um circuito RLC com fonte e_{1}(t) em série com o indutor L, cujo nó após L conecta-se em paralelo ao resistor R (para o terra) e ao capacitor C, cuja outra placa vai à fonte e_{2}(t). Definimos as variáveis de estado
x_{1}=i_{L},\quad x_{2}=v_{C}.

Passo 2

Denotemos por v a tensão no nó após L (tensão no resistor e na placa esquerda do capacitor). Note que a placa direita do capacitor está no potencial e_{2}(t). Como v_{C}= tensão da placa direita menos tensão da placa esquerda, temos
v_{C}=e_{2}(t)-v \quad\Longrightarrow\quad v=e_{2}(t)-x_{2}.

Passo 3

Aplicando KVL na malha da fonte e_{1}, indutor L e nó de potencial v,
e_{1}(t)-L\,\frac{d i_{L}}{dt}-v=0 \quad\Longrightarrow\quad L\,\dot x_{1}=e_{1}(t)-v.
Substituindo v=e_{2}(t)-x_{2},
L\,\dot x_{1}=e_{1}(t)-\bigl(e_{2}(t)-x_{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \dot x_{1}=\frac{1}{L}\,x_{2}+\frac{1}{L}\bigl(e_{1}(t)-e_{2}(t)\bigr).

Passo 4

No nó após L, a corrente i_{L}=x_{1} se divide em i_{R} e i_{C}. Com i_{R}=v/R para o terra e i_{C} saindo da placa esquerda do capacitor, KCL dá
x_{1}=i_{R}+i_{C} \quad\Longrightarrow\quad i_{C}=x_{1}-\frac{v}{R}.
Como i_{C}=C\,\dot v_{C}=C\,\dot x_{2} e v=e_{2}(t)-x_{2},
C\,\dot x_{2} =x_{1}-\frac{e_{2}(t)-x_{2}}{R} \quad\Longrightarrow\quad \dot x_{2} =\frac{1}{C}\,x_{1} +\frac{1}{RC}\,x_{2} -\frac{1}{RC}\,e_{2}(t).

Passo 5

Reunindo, o sistema de primeira ordem em função dos estados x_{1},x_{2} e entradas e_{1},e_{2} é
\begin{cases} \displaystyle \dot x_{1} =\frac{1}{L}\,x_{2} +\frac{1}{L}\,e_{1}(t) -\frac{1}{L}\,e_{2}(t),\\[6pt] \displaystyle \dot x_{2} =\frac{1}{C}\,x_{1} +\frac{1}{RC}\,x_{2} -\frac{1}{RC}\,e_{2}(t). \end{cases}]

Resposta

\dot x_{1} =\frac{1}{L}\,x_{2} +\frac{1}{L}\,\bigl(e_{1}-e_{2}\bigr), \quad \dot x_{2} =\frac{1}{C}\,x_{1} +\frac{1}{RC}\,x_{2} -\frac{1}{RC}\,e_{2}.

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