(A braquistócrona) Em 1696, Johann Bernoulli propõe o seguinte problema: determinar a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note que o problema não é determinar o caminho mais curto e sim a trajetória percorrida em menor tempo. A curva determinada pela trajetória da partícula é denominada braquistócrona, palavra derivada do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo). O problema foi resolvido em 1697 por Jacob Bernoulli, Leibniz, L’Hospital e Newton e tem grande importância na história da matemática.
(a) A velocidade da partícula pode ser obtida igualando-se a energia cinética e a energia potencial, i.e.,
, onde
é a massa da partícula e
a constante gravitacional. Conclua que
.
(b) O Princípio de Fermat diz que a trajetória que minimiza tempo entre dois pontos é a da luz, logo, se
é o ângulo entre a vertical e a trajetória, então
, com
constante. Isso implica que a trajetória mínima começa sempre com tangente vertical. Admitindo que a partícula parta da origem e atinja seu ponto mínimo em um ponto de ordenada
, temos
.
(c) Usando o fato que
, conclua que
e
. Mostre que
e conclua que
. A equação acima implica que
.
(d) Faça a mudança de variável
, determine uma parametrização para o gráfico da solução da equação obtida no ítem anterior e esboce esta solução. A curva solução do problema também é chamada de ciclóide.
(a) A velocidade da partícula pode ser obtida igualando-se a energia cinética e a energia potencial, i.e.,
(b) O Princípio de Fermat diz que a trajetória que minimiza tempo entre dois pontos é a da luz, logo, se
(c) Usando o fato que
(d) Faça a mudança de variável
Passo 1
O enunciado pede para determinar a curva braquistócrona que minimiza o tempo de descida de uma partícula sem atrito, sujeita à gravidade, entre dois pontos. Vamos usar três ideias principais:
) conservação de energia para obter
,
) Princípio de Fermat aplicado a um meio com índice efetivo
para relacionar a inclinação da curva a uma constante
,
) geometria diferencial via
para obter uma equação diferencial que se resolve por mudança de variável.
Passo 2
Para a parte (a) igualamos energia cinética e potencial:
Cancelando
e isolando
segue
Passo 3
Na parte (b) o Princípio de Fermat diz que a luz num meio com índice
satisfaz
onde
é o ângulo entre a vertical e a tangente à curva e
é constante. Logo
No início a curva é vertical, pois em
temos
e assim
(vertical). Se a partícula atinge altitude mínima
então
é a velocidade correspondente a
, i.e.,
Passo 4
Usamos
. Das relações
e
obtemos
Invertendo, a derivada da curva é
e portanto a curva satisfaz
Passo 5
Para a parte (d) fazemos a mudança de variável
Então
Logo
Escolhendo
em
faz
. Assim a parametrização é
que descreve uma ciclóide iniciando verticalmente e formando uma curva em forma de arco.]