(A braquistócrona) Em 1696, Johann Bernoulli propõe o seguinte problema: determinar a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note que o problema não é determinar o caminho mais curto e sim a trajetória percorrida em menor tempo. A curva determinada pela trajetória da partícula é denominada braquistócrona, palavra derivada do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo). O problema foi resolvido em 1697 por Jacob Bernoulli, Leibniz, L’Hospital e Newton e tem grande importância na história da matemática.
(a) A velocidade da partícula pode ser obtida igualando-se a energia cinética e a energia potencial, i.e., 12 m v^2=m g y, onde m é a massa da partícula e g a constante gravitacional. Conclua que v=raiz2 g y.
(b) O Princípio de Fermat diz que a trajetória que minimiza tempo entre dois pontos é a da luz, logo, se theta é o ângulo entre a vertical e a trajetória, então sen thetav=1v d xd s=1vm, com vm constante. Isso implica que a trajetória mínima começa sempre com tangente vertical. Admitindo que a partícula parta da origem e atinja seu ponto mínimo em um ponto de ordenada -D, com D>0, temos vm=raiz2 g D.
(c) Usando o fato que d s^2=d x^2+d y^2, conclua que vm^2 d x^2=v^2 d s^2=v^2(d x^2+d y^2) e d x= v d yvm^2-v^2. Mostre que
d x=raizyD-y d y
e conclua que y^prime=raizD-yy. A equação acima implica que x=integral raizyD-y d y.
(d) Faça a mudança de variável y=D2(1-cos theta)=D sen^2(theta / 2), determine uma parametrização para o gráfico da solução da equação obtida no ítem anterior e esboce esta solução. A curva solução do problema também é chamada de ciclóide.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a curva braquistócrona que minimiza o tempo de descida de uma partícula sem atrito, sujeita à gravidade, entre dois pontos. Vamos usar três ideias principais:
1) conservação de energia para obter v(y),
2) Princípio de Fermat aplicado a um meio com índice efetivo n(y)=1/v(y) para relacionar a inclinação da curva a uma constante vm,
3) geometria diferencial via ds^2=dx^2+dy^2 para obter uma equação diferencial que se resolve por mudança de variável.

Passo 2

Para a parte (a) igualamos energia cinética e potencial:
12,m,v^2 = m,g,y
Cancelando m e isolando v segue
v = raiz2,g,y

Passo 3

Na parte (b) o Princípio de Fermat diz que a luz num meio com índice n(y)=1/v(y) satisfaz
sinthetav=1vm,
onde theta é o ângulo entre a vertical e a tangente à curva e vm é constante. Logo
sintheta = vvm
No início a curva é vertical, pois em y=0 temos v=0 e assim sintheta=0Rightarrowtheta=0 (vertical). Se a partícula atinge altitude mínima -D então vm é a velocidade correspondente a y=D, i.e.,
vm = raiz2,g,D

Passo 4

Usamos ds^2=dx^2+dy^2. Das relações vm^2,dx^2 = v^2,ds^2 e v=raiz2g,y obtemos
vm^2,dx^2 = v^2,(dx^2+dy^2) Longrightarrow (vm^2 - v^2),dx^2 = v^2,dy^2
Rightarrow dx = vraizvm^2 - v^2;dy = raiz2g,yraiz2g(D - y),dy = raizyD - y;dy
Invertendo, a derivada da curva é
y' = dydx = raizD - yy,
e portanto a curva satisfaz
x = integral raizyD - y;dy

Passo 5

Para a parte (d) fazemos a mudança de variável
y = D2,(1 - costheta) = D,sin^2!l(tfractheta2r)
Então
dy = D2,sintheta;dtheta, raizyD - y = raiz1-costheta1+costheta = tan!l(tfractheta2r)
Logo
x = integral tan!l(tfractheta2r),D2,sintheta;dtheta = D2integral (1-costheta);dtheta = D2,(theta - sintheta)+C
Escolhendo x=0 em theta=0 faz C=0. Assim a parametrização é
x(theta) = dfracD2,l(theta - sinthetar),[6pt] y(theta) = dfracD2,l(1 - costhetar), 0<=theta<=thetaf,
que descreve uma ciclóide iniciando verticalmente e formando uma curva em forma de arco.]

Resposta

boxed x(theta) = D2,l(theta - sinthetar), y(theta) = D2,l(1 - costhetar)

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