(Curvas de perseguição) Considere um rato que se encontra em repouso na origem, quando um gato localizado no ponto ( ) o avista e começa imediatamente a perseguí-lo. Neste mesmo instante, o rato percebe a aproximação do gato e parte em fuga, no sentido positivo do eixo à velocidade . O gato corre sempre na direção em que está o gato à velocidade constante . Vamos determinar a curva descrita pela trajetória do gato.
(a) Decorrido um certo intervalo de tempo , o gato se encontra no ponto e o rato no ponto . Mostre que
(b) Mostre que . Como O Q=v t, conclua que
vomega integralx^a raiz1+(y^prime(x))^2 d x=y-y^prime x
Derive esta última equação e mostre que x y^prime prime=c raiz1+(y^prime(x))^2, onde c=v / omega.
(c) Introduza a variável u=y^prime e resolva a equação correspondente em u.
(d) Determine y=y(x).
(e) Determine em que condições o gato alcança o rato. Determine o ponto em que o encontro ocorre.
Passo 1
Resumindo o problema: um rato parte da origem verticalmente ao longo do eixo y com velocidade constante v, e um gato, inicialmente em (a,0), persegue o rato correndo sempre na direção atual do rato com velocidade constante omega. Queremos achar a curva y=y(x) descrita pelo gato. O método envolve: (i) relacionar o tempo de percurso com o comprimento de arco da curva, (ii) usar a condição de que a reta tangente ao caminho do gato aponta para o rato, (iii) derivar a equação diferencial para y(x), (iv) resolver essa equação e (v) analisar quando e onde o gato alcança o rato.
Passo 2
(a) Num certo instante t, o gato está em P=(x,y). O comprimento de arco percorrido pelo gato desde (a,0) até (x,y) é
integralx^araiz1+l(y'(s)r)^2,ds,
e como ele corre com velocidade omega, esse tempo satisfaz
t ;=;1omegaintegralx^araiz1+l(y'(s)r)^2,ds
Passo 3
(b) A reta tangente à curva y(x) em P tem inclinação y'. Por outro lado, ela deve apontar para o rato em Q=(0,vt). O vetor direção PQ é (-x,;vt-y), portanto
y'1 ;=;vt-y-x Longrightarrow y' ;=;-,vt-yx
Como vt=(v/omega)integralx^araiz1+(y')^2,ds, obtemos