(Curvas de perseguição) Considere um rato que se encontra em repouso na origem, quando um gato localizado no ponto ( a, 0 ) o avista e começa imediatamente a perseguí-lo. Neste mesmo instante, o rato percebe a aproximação do gato e parte em fuga, no sentido positivo do eixo y à velocidade v. O gato corre sempre na direção em que está o gato à velocidade constante omega. Vamos determinar a curva y=y(x) descrita pela trajetória do gato.
(a) Decorrido um certo intervalo de tempo t, o gato se encontra no ponto P=(x, y) e o rato no ponto Q=(0, v t). Mostre que
t=1omega integralx^a raiz1+(y^prime(x))^2 d x
(b) Mostre que y^prime=-O Q-yx. Como O Q=v t, conclua que
vomega integralx^a raiz1+(y^prime(x))^2 d x=y-y^prime x
Derive esta última equação e mostre que x y^prime prime=c raiz1+(y^prime(x))^2, onde c=v / omega.
(c) Introduza a variável u=y^prime e resolva a equação correspondente em u.
(d) Determine y=y(x).
(e) Determine em que condições o gato alcança o rato. Determine o ponto em que o encontro ocorre.

Passo 1

Resumindo o problema: um rato parte da origem verticalmente ao longo do eixo y com velocidade constante v, e um gato, inicialmente em (a,0), persegue o rato correndo sempre na direção atual do rato com velocidade constante omega. Queremos achar a curva y=y(x) descrita pelo gato. O método envolve: (i) relacionar o tempo de percurso com o comprimento de arco da curva, (ii) usar a condição de que a reta tangente ao caminho do gato aponta para o rato, (iii) derivar a equação diferencial para y(x), (iv) resolver essa equação e (v) analisar quando e onde o gato alcança o rato.

Passo 2

(a) Num certo instante t, o gato está em P=(x,y). O comprimento de arco percorrido pelo gato desde (a,0) até (x,y) é
integralx^araiz1+l(y'(s)r)^2,ds,
e como ele corre com velocidade omega, esse tempo satisfaz
t ;=;1omegaintegralx^araiz1+l(y'(s)r)^2,ds

Passo 3

(b) A reta tangente à curva y(x) em P tem inclinação y'. Por outro lado, ela deve apontar para o rato em Q=(0,vt). O vetor direção PQ é (-x,;vt-y), portanto
y'1 ;=;vt-y-x Longrightarrow y' ;=;-,vt-yx
Como vt=(v/omega)integralx^araiz1+(y')^2,ds, obtemos
vomegaintegralx^araiz1+l(y'(s)r)^2,ds ;=;y-y',x

Passo 4

Derivando essa última relação em x:
ddxl[tfracvomega!!integralx^a!raiz1+(y')^2,dsr] ;=;ddxl[y-y',xr]
O lado esquerdo dá
-vomega,raiz1+(y')^2,
e o direito dá
y' - (y'',x + y') = -,x,y''
Igualando e cancelando sinais, vem
x,y'' = vomega,raiz1+(y')^2
Definindo c=tfracvomega, a equação fica
x,y'' = c,raiz1+(y')^2

Passo 5

(c) Pondo u=y', temos y''=du/dx e a equação vira
x,dudx ;=;c,raiz1+u^2 Longrightarrow duraiz1+u^2 ;=;cx,dx
Integrando,
arsinh(u)=cln x + K Longrightarrow u = sinhl(cln x + Kr)
No instante inicial x=a, o gato está em (a,0) e mira para o rato em (0,0), logo u(a)=y'(a)=0. Assim
0 = sinhl(cln a + Kr) Longrightarrow K=-,cln a,
e portanto
y' ;=;u = sinh!l[cln(x/a)r]

Passo 6

(d) Para achar y(x), integramos
y(x)=integral sinh!l[cln(x/a)r],dx
Fazendo a substituição t=ln(x/a), dx = a e^tdt, obtém-se após cálculo
y(x) =a2(1-c^2)l[(1-c)l(tfracxar)^1+c -(1+c)l(tfracxar)^1-c+2cr]

Passo 7

(e) O gato só alcança o rato num ponto de abscissa x=0 se o tempo for finito, o que ocorre apenas quando c<1, ou seja
vomega<1Long<=ftrightarrow v<omega
Nesse caso o encontro dá-se em
x=0, y(0)=limxto0 a2(1-c^2)l[(1-c)(x/a)^1+c-(1+c)(x/a)^1-c+2cr] =a,c1-c^2

Resposta

Curva de perseguição:
y(x) =a2(1-c^2)l[(1-c)l(tfracxar)^1+c -(1+c)l(tfracxar)^1-c+2cr], c=vomega
O gato alcança o rato em tempo finito somente se v<omega, encontrando-o em
(x,y)=l(0,;tfraca,c1-c^2r)

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