Determine y^prime por derivação implícita.
e^x cos y=x e^y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^xcos y = x e^y
e pede y'=dydx. Vamos usar diferenciação implícita, tratando y como função de x.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddxl(e^xcos yr) =ddxl(xe^yr)
No lado esquerdo, pela regra do produto e cadeia,
ddx(e^xcos y) =e^xcos y + e^xl(-sin yr)y' = e^xcos y - e^xsin y,y'
No lado direito, também pela regra do produto e cadeia,
ddx(xe^y) =1cdot e^y + xcdot e^y,y' = e^y + x e^yy'
Portanto a igualdade das derivadas é
e^xcos y - e^xsin y,y' ;=; e^y + x e^yy'

Passo 3

Isolando os termos com y':
-,e^xsin y,y' ;-; x e^yy' = e^y - e^xcos y
Fatorando y':
y'l(-e^xsin y - x e^yr) = e^y - e^xcos y
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y' = e^y-e^xcos y-,e^xsin y - x e^y = e^xcos y - e^ye^xsin y + x e^y

Resposta

y'=e^xcos y - e^ye^xsin y + x e^y

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