(A braquistócrona) Em 1696, Johann Bernoulli propõe o seguinte problema: determinar a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note que o problema não é determinar o caminho mais curto e sim a trajetória percorrida em menor tempo. A curva determinada pela trajetória da partícula é denominada braquistócrona, palavra derivada do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo). O problema foi resolvido em 1697 por Jacob Bernoulli, Leibniz, L’Hospital e Newton e tem grande importância na história da matemática.
(a) A velocidade da partícula pode ser obtida igualando-se a energia cinética e a energia potencial, i.e.,
, onde
é a massa da partícula e
a constante gravitacional. Conclua que
.
(b) O Princípio de Fermat diz que a trajetória que minimiza tempo entre dois pontos é a da luz, logo, se
é o ângulo entre a vertical e a trajetória, então
, com
constante. Isso implica que a trajetória mínima começa sempre com tangente vertical. Admitindo que a partícula parta da origem e atinja seu ponto mínimo em um ponto de ordenada
, temos
.
(c) Usando o fato que
, conclua que
e
. Mostre que
e conclua que
. A equação acima implica que
.
(d) Faça a mudança de variável
, determine uma parametrização para o gráfico da solução da equação obtida no ítem anterior e esboce esta solução. A curva solução do problema também é chamada de ciclóide.