Determine y^prime por derivação implícita.
x^2+x arcsen y=y e^x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2 + x,arcsen y = y,e^x
e pede y'. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia para arcsen y.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
ddxl(x^2r)=2x, ddxl(x,arcsen yr) =underbrace1cdotarcsen yderivada de x;+;xcdotunderbrace1raiz1-y^2,y'cadeia em arcsen y
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ddxl(x^2+x,arcsen yr) =2x + arcsen y + x,y'raiz1-y^2

Passo 3

No lado direito,
ddxl(y,e^xr) =underbracey',e^xderivada de y;+;underbracey,e^xderivada de e^x
Portanto
y',e^x + y,e^x

Passo 4

Igualando as derivadas:
2x + arcsen y + x,y'raiz1-y^2 = y',e^x + y,e^x
Passamos todos os termos com y' para um lado e os demais para o outro:
x,y'raiz1-y^2 - y',e^x = y,e^x - 2x - arcsen y
Fatorando y':
y',l(xraiz1-y^2-e^xr) = y,e^x - 2x - arcsen y

Passo 5

Isolando y':
y' = y,e^x - 2x - arcsen y xraiz1-y^2 - e^x

Resposta

y' = y,e^x - 2x - arcsen y xraiz1-y^2 - e^x

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