Um brinquedo de massa 433 g executa MHS na extremidade de uma mola horizontal com constante elástica 146 N / m. Quando o objeto está a uma distância 0,0153 m da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui velocidade igual a 0,431 m / s.
Qual a amplitude do movimento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um brinquedo que está fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) numa mola. A gente tem que descobrir qual é a amplitude desse movimento. Para isso, vamos precisar das fórmulas do MHS, que relacionam a massa, a constante elástica da mola, a posição e a velocidade do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Massa do brinquedo (m): 433 g, que convertendo para kg fica $ m = 0,433 , kg $.
  • Constante elástica da mola (k): $ k = 146 , N/m $.
  • Posição em relação ao equilíbrio (x): $ x = 0,0153 , m $.
  • Velocidade nessa posição (v): $ v = 0,431 , m/s $.

Passo 3

No Movimento Harmônico Simples, a energia total do sistema é a soma da energia potencial na mola e da energia cinética do objeto. A energia total também pode ser expressa em termos da amplitude do movimento.
A fórmula da energia total $ E $ é:
E
Onde $ A $ é a amplitude que queremos encontrar.

Passo 4

Quando o objeto está na posição $ x $ com velocidade $ v $, a energia cinética $ E_c $ é:
x
E a energia potencial na mola $ E_p $ é:
v

Passo 5

Como a energia total é constante no MHS, temos:
E = Ec + Ep
Substituindo as expressões das energias:
12 k A^2 = 12 m v^2 + 12 k x^2
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
k A^2 = m v^2 + k x^2

Passo 6

Agora, vamos isolar $ A^2 $:
A^2
E então, tirar a raiz quadrada para encontrar $ A $:
A^2 = m v^2k + x^2

Passo 7

Vamos agora substituir os valores que temos:
A = raiz0,433 times (0,431)^2146 + (0,0153)^2
Calculando passo a passo:
  1. $ v^2 = (0,431)^2 = 0,185761 $
  2. $ \frac{0,433 \times 0,185761}{146} = \frac{0,080468 , kg\cdotm2/\text{s}2}{146} \approx 0,000552 $
  3. $ (0,0153)^2 = 0,00023409 $
Somando esses valores:
v^2 = (0,431)^2 = 0,185761

Resposta

A amplitude do movimento é aproximadamente $ 0,028 , metros $.

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