Duas estrelas de mesma massa
, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcule a velocidade angular e o período de rotação em função de M,D,G.
Calcule a velocidade angular e o período de rotação em função de M,D,G.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que tá rolando: temos duas estrelas iguais, cada uma com massa
, separadas por uma distância
. Elas só “sentem” a gravidade uma da outra e giram em círculos ao redor do ponto médio (centro de massa).
Conteúdo: gravitação universal + força centrípeta em órbita circular.
O que precisamos:
Conteúdo: gravitação universal + força centrípeta em órbita circular.
O que precisamos:
- Lei da Gravitação Universal:
- Força centrípeta pra um corpo de massa
descrevendo círculo de raio com velocidade angular :
Passo 2
Primeiro, qual o raio da órbita de cada estrela em relação ao centro de massa? Como as massas são iguais, o CM fica bem no meio da distância
. Logo cada estrela está a
do ponto central. Isso significa que cada uma descreve um círculo de raio
.
Passo 3
Agora equaciona as forças. A gravidade atrai uma estrela à outra, mas do ponto de vista de uma só, essa força é centrípeta:
- Força gravitacional entre elas (distância total
):
- Força centrípeta necessária para manter uma delas girando com raio
e velocidade angular :
Como elas estão em órbita estável,
Passo 4
Junta as duas expressões:
Simplifica, cancelando um
:
Isola
:
Passo 5
O período
é o tempo que dá uma volta completa, e a relação com
é
Substituindo
:
Resposta
Velocidade angular:
Período de rotação: