Duas estrelas de mesma massa M, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcule a velocidade angular e o período de rotação em função de M,D,G.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que tá rolando: temos duas estrelas iguais, cada uma com massa Frm grav = G,M1,M2r^2 , separadas por uma distância Frm cent = m,r,omega^2 . Elas só “sentem” a gravidade uma da outra e giram em círculos ao redor do ponto médio (centro de massa).
Conteúdo: gravitação universal + força centrípeta em órbita circular.
O que precisamos:
  1. Lei da Gravitação Universal:
  1. Força centrípeta pra um corpo de massa descrevendo círculo de raio com velocidade angular :

Passo 2

Primeiro, qual o raio da órbita de cada estrela em relação ao centro de massa? Como as massas são iguais, o CM fica bem no meio da distância r = D2 . Logo cada estrela está a
do ponto central. Isso significa que cada uma descreve um círculo de raio .

Passo 3

Agora equaciona as forças. A gravidade atrai uma estrela à outra, mas do ponto de vista de uma só, essa força é centrípeta:
  1. Força gravitacional entre elas (distância total Frm grav = G,M,MD^2 ;=;G,M^2D^2 ):
Frm cent = M,r,omega^2 = M;D2;omega^2
  1. Força centrípeta necessária para manter uma delas girando com raio Frm cent = Frm grav e velocidade angular :
Como elas estão em órbita estável,

Passo 4

Junta as duas expressões:
M;D2;omega^2 ;=;G,M^2D^2
Simplifica, cancelando um D2,omega^2 = G,MD^2 :
omega^2 = 2,G,MD^3 longrightarrow omega = raiz2,G,MD^3
Isola :

Passo 5

O período T = 2piomega é o tempo que dá uma volta completa, e a relação com T = 2pi ;1raiztfrac2GMD^3 = 2pi ;raizD^32,G,M é
Substituindo :

Resposta

Velocidade angular:
boxed omega = raiz2,G,MD^3
Período de rotação:
boxed T = 2pi ,raizD^32,G,M

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