Um brinquedo de playground consiste em um disco homogêneo de massa
kg e raio
m montado sobre um eixo com pouco atrito. Uma criança de massa
kg corre com velocidade escalar
m/s ao longo de uma linha tangencial ao disco e pula sobre a borda externa do disco.
(a) Se o disco estava inicialmente em repouso, com que velocidade angular ele passa a girar? (b) Qual a variação da energia cinética da criança mais o disco? Explique para onde foi a maior parte dessa energia cinética.
(a) Se o disco estava inicialmente em repouso, com que velocidade angular ele passa a girar? (b) Qual a variação da energia cinética da criança mais o disco? Explique para onde foi a maior parte dessa energia cinética.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um disco de playground com massa
kg e raio
m, inicialmente parado. Uma criança de massa
kg está se movendo com uma velocidade
m/s tangencialmente ao disco e pula sobre a borda externa. Vamos usar conceitos de momento angular e conservação de momento angular para resolver a parte (a) e depois analisar a variação da energia cinética na parte (b).
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco homogêneo, o momento de inércia em relação ao eixo central é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, calculamos o momento de inércia da criança quando ela está na borda do disco. A fórmula para o momento de inércia de um ponto de massa é:
Substituindo os valores:
Passo 4
O momento de inércia total do sistema após a criança pular no disco é a soma dos momentos de inércia do disco e da criança:
Passo 5
Antes da criança pular, o disco está em repouso, então seu momento angular inicial é zero. A criança, ao se mover tangencialmente com velocidade
, possui momento angular inicial:
Passo 6
Pela conservação do momento angular, o momento angular total antes é igual ao momento angular total após:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, calculamos a energia cinética inicial da criança:
Passo 8
A energia cinética final do sistema (criança + disco) é:
Passo 9
A variação da energia cinética é a diferença entre a energia cinética inicial e a final:
Isso significa que houve uma perda de aproximadamente 30,63 J de energia cinética.
Passo 10
Essa energia perdida geralmente é dissipada em calor e som devido ao atrito interno e à interação não perfeitamente elástica quando a criança pula sobre o disco. A maior parte dessa energia é transformada em calor e vibrações no sistema.
Resposta
(a) A velocidade angular do disco após a criança pular é aproximadamente
rad/s.
(b) A energia cinética total diminuiu cerca de J. A maior parte dessa energia foi dissipada em calor e som devido ao atrito e à interação não elástica durante o salto da criança no disco.
(b) A energia cinética total diminuiu cerca de