Um brinquedo de playground consiste em um disco homogêneo de massa M=43 kg e raio R=1,7 m montado sobre um eixo com pouco atrito. Uma criança de massa m=25 kg corre com velocidade escalar v=2.3 m/s ao longo de uma linha tangencial ao disco e pula sobre a borda externa do disco.
(a) Se o disco estava inicialmente em repouso, com que velocidade angular ele passa a girar? (b) Qual a variação da energia cinética da criança mais o disco? Explique para onde foi a maior parte dessa energia cinética.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um disco de playground com massa M = 43 kg e raio R = 1,7 m, inicialmente parado. Uma criança de massa m = 25 kg está se movendo com uma velocidade v = 2,3 m/s tangencialmente ao disco e pula sobre a borda externa. Vamos usar conceitos de momento angular e conservação de momento angular para resolver a parte (a) e depois analisar a variação da energia cinética na parte (b).

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco homogêneo, o momento de inércia em relação ao eixo central é dado por:
Idisco = 12 M R^2
Substituindo os valores:
Idisco = 12 times 43 , kg times (1,7 , m)^2 = 12 times 43 times 2,89 approx 62,175 , kg·m^2

Passo 3

Agora, calculamos o momento de inércia da criança quando ela está na borda do disco. A fórmula para o momento de inércia de um ponto de massa é:
Icriança = m R^2 ç
Substituindo os valores:
Icriança = 25 , kg times (1,7 , m)^2 = 25 times 2,89 = 72,25 , kg·m^2 ç

Passo 4

O momento de inércia total do sistema após a criança pular no disco é a soma dos momentos de inércia do disco e da criança:
Itotal = Idisco + Icriança = 62,175 + 72,25 = 134,425 , kg·m^2 ç

Passo 5

Antes da criança pular, o disco está em repouso, então seu momento angular inicial é zero. A criança, ao se mover tangencialmente com velocidade v, possui momento angular inicial:
Lcriança = m v R = 25 times 2,3 times 1,7 = 97,75 , kg·m^2/s ç

Passo 6

Pela conservação do momento angular, o momento angular total antes é igual ao momento angular total após:
Linicial = Lfinal 97,75 = Itotal times omega omega = 97,75134,425 approx 0,727 , rad/s

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, calculamos a energia cinética inicial da criança:
KEinicial = 12 m v^2 = 12 times 25 times (2,3)^2 = 12,5 times 5,29 approx 66,125 , J

Passo 8

A energia cinética final do sistema (criança + disco) é:
KEfinal = 12 Itotal omega^2 = 12 times 134,425 times (0,727)^2 approx 0,5 times 134,425 times 0,528 approx 35,495 , J

Passo 9

A variação da energia cinética é a diferença entre a energia cinética inicial e a final:
De
Isso significa que houve uma perda de aproximadamente 30,63 J de energia cinética.

Passo 10

Essa energia perdida geralmente é dissipada em calor e som devido ao atrito interno e à interação não perfeitamente elástica quando a criança pula sobre o disco. A maior parte dessa energia é transformada em calor e vibrações no sistema.

Resposta

(a) A velocidade angular do disco após a criança pular é aproximadamente 0,727 rad/s.
(b) A energia cinética total diminuiu cerca de 30,63 J. A maior parte dessa energia foi dissipada em calor e som devido ao atrito e à interação não elástica durante o salto da criança no disco.

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