Um ioiô é construido a partir de três discos homogêneos: dois discos externos de massa
kg e raio
cm e um disco interno (em torno do qual se enrola o fio) de massa
kg e raio
cm. O ioiô é suspenso do teto e então liberado, com o fio na vertical. Considere que o fio em torno ao disco interno não desliza. (a) Calcule o momento de inércia do ioiô em relação ao eixo central em torno do qual ele gira. (b) Calcule a tração no fio durante a descida do ioiô e © a aceleração com que o ioio desce.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ioiô! A gente tem um ioiô feito de três discos: dois externos com massa
kg e raio
cm, e um disco interno com massa
kg e raio
cm. O ioiô está pendurado no teto e vai descer quando solto. Precisamos calcular três coisas:
a) O momento de inércia do ioiô em relação ao eixo central.
b) A tração no fio enquanto o ioiô desce.
c) A aceleração com que o ioiô desce.
b) A tração no fio enquanto o ioiô desce.
c) A aceleração com que o ioiô desce.
Vamos precisar entender o que é momento de inércia, leis de rotação e as relações de movimento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do ioiô. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para discos, a fórmula do momento de inércia em relação ao seu centro é:
Como temos três discos (dois externos e um interno), vamos calcular o momento de cada um e somar.
Para os discos externos:
- Massa de cada disco externo:
kg - Raio de cada disco externo:
cm = 0,05 m
O momento de inércia de um disco externo:
Como temos dois discos externos:
Para o disco interno:
- Massa do disco interno:
kg - Raio do disco interno:
cm = 0,01 m
O momento de inércia do disco interno:
Passo 3
Agora, somamos os momentos de inércia dos discos externos e do interno para obter o momento de inércia total do ioiô:
Passo 4
Pronto! Calculamos o momento de inércia. Agora, vamos para a tração no fio durante a descida do ioiô.
Quando o ioiô desce, a força da gravidade puxa para baixo, e a tração no fio puxa para cima. Além disso, o ioiô está girando à medida que desce, então precisamos considerar o torque causado pela tração.
A segunda lei de Newton para rotação nos diz:
Onde:
-
é o torque -
é o momento de inércia -
é a aceleração angular
O torque produzido pela tração
no fio é:
Além disso, a relação entre a aceleração angular
e a aceleração linear
é:
Vamos também considerar a segunda lei de Newton para a tradução:
Mas, como o sistema inclui rotação, precisamos combinar essas equações.
Passo 5
Vamos relacionar tudo isso para encontrar a tração
.
Primeiro, a relação entre aceleração linear e angular:
Substituindo na equação do torque:
Então:
Agora, aplicando a segunda lei para a tradução:
Substituindo
na equação acima:
Agora que temos
, podemos encontrar
substituindo de volta.
Passo 6
Vamos calcular a aceleração
usando os valores que temos:
- Massa total:
kg - Momento de inércia:
kg·m² - Raio do disco interno:
m - Aceleração da gravidade:
m/s²
Substituindo na fórmula de
:
Agora, calculamos a tração
:
Resposta
a) O momento de inércia do ioiô é aproximadamente
.
b) A tração no fio durante a descida do ioiô é cerca de
.
c) A aceleração com que o ioiô desce é aproximadamente
.