Um ioiô é construido a partir de três discos homogêneos: dois discos externos de massa M=0,20 kg e raio R=5 cm e um disco interno (em torno do qual se enrola o fio) de massa m=0,04 kg e raio r=1 cm. O ioiô é suspenso do teto e então liberado, com o fio na vertical. Considere que o fio em torno ao disco interno não desliza. (a) Calcule o momento de inércia do ioiô em relação ao eixo central em torno do qual ele gira. (b) Calcule a tração no fio durante a descida do ioiô e © a aceleração com que o ioio desce.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ioiô! A gente tem um ioiô feito de três discos: dois externos com massa M = 0,20 kg e raio R = 5 cm, e um disco interno com massa m = 0,04 kg e raio r = 1 cm. O ioiô está pendurado no teto e vai descer quando solto. Precisamos calcular três coisas:
a) O momento de inércia do ioiô em relação ao eixo central.
b) A tração no fio enquanto o ioiô desce.
c) A aceleração com que o ioiô desce.
Vamos precisar entender o que é momento de inércia, leis de rotação e as relações de movimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do ioiô. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para discos, a fórmula do momento de inércia em relação ao seu centro é:
I = 12 M R^2
Como temos três discos (dois externos e um interno), vamos calcular o momento de cada um e somar.
Para os discos externos:
  • Massa de cada disco externo: M = 0,20 kg
  • Raio de cada disco externo: R = 5 cm = 0,05 m
O momento de inércia de um disco externo:
Iexterno = 12 M R^2 = 12 times 0,20 times (0,05)^2 = 12 times 0,20 times 0,0025 = 0,00025 , kg·m² ²
Como temos dois discos externos:
Itotal externos = 2 times 0,00025 = 0,0005 , kg·m² ²
Para o disco interno:
  • Massa do disco interno: m = 0,04 kg
  • Raio do disco interno: r = 1 cm = 0,01 m
O momento de inércia do disco interno:
Iinterno = 12 m r^2 = 12 times 0,04 times (0,01)^2 = 12 times 0,04 times 0,0001 = 0,000002 , kg·m² ²

Passo 3

Agora, somamos os momentos de inércia dos discos externos e do interno para obter o momento de inércia total do ioiô:
Itotal = Itotal externos + Iinterno = 0,0005 + 0,000002 = 0,000502 , kg·m² ²

Passo 4

Pronto! Calculamos o momento de inércia. Agora, vamos para a tração no fio durante a descida do ioiô.
Quando o ioiô desce, a força da gravidade puxa para baixo, e a tração no fio puxa para cima. Além disso, o ioiô está girando à medida que desce, então precisamos considerar o torque causado pela tração.
A segunda lei de Newton para rotação nos diz:
tau = I alpha
Onde:
  • tau é o torque
  • I é o momento de inércia
  • alpha é a aceleração angular
O torque produzido pela tração T no fio é:
tau = T times r
Além disso, a relação entre a aceleração angular alpha e a aceleração linear a é:
a = alpha times r
Vamos também considerar a segunda lei de Newton para a tradução:
Mg - T = Mgefetiva = M a
Mas, como o sistema inclui rotação, precisamos combinar essas equações.

Passo 5

Vamos relacionar tudo isso para encontrar a tração T.
Primeiro, a relação entre aceleração linear e angular:
a = alpha times r Rightarrow alpha = ar
Substituindo na equação do torque:
tau = I alpha = I ar = T r
Então:
T = I ar
Agora, aplicando a segunda lei para a tradução:
Mg - T = M a
Substituindo T na equação acima:
Mg - I ar = M a Mg = M a + I ar Mg = a ( M + Ir ) a = MgM + Ir
Agora que temos a, podemos encontrar T substituindo de volta.

Passo 6

Vamos calcular a aceleração a usando os valores que temos:
  • Massa total: M = 0,20 kg
  • Momento de inércia: I = 0,000502 kg·m²
  • Raio do disco interno: r = 0,01 m
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81 m/s²
Substituindo na fórmula de a:
a = MgM + Ir = 0,20 times 9,810,20 + 0,0005020,01 = 1,9620,20 + 0,0502 = 1,9620,2502 approx 7,835 , m/s² ²
Agora, calculamos a tração T:
T = I ar = 0,000502 times 7,8350,01 = 0,003932170,01 = 0,3932 , N

Resposta

a) O momento de inércia do ioiô é aproximadamente 0,000502 , kg·m²².
b) A tração no fio durante a descida do ioiô é cerca de 0,393 , N.
c) A aceleração com que o ioiô desce é aproximadamente 7,835 , m/s²².

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