Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda.
- Qual a velocidade angular do carrossel e da criança imediatamente após a criança ter se agarrado ao carrossel?
- Que importante lei física você usou na resolução do item acima? Por que pôde usá-la?
Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine
- a aceleração angular do sistema e
- o torque retardador devido ao atrito.
Dê suas respostas em termos de
e
. O momento de inércia de um cilindro em torno de seu eixo vertical é
.
Respostas
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Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
Dê suas respostas em termos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um carrossel que pode girar, e uma criança que pula nele. A gente precisa encontrar a velocidade angular do carrossel depois que a criança pula, além de resolver outras questões relacionadas ao movimento. Os principais conceitos que vamos usar aqui são momento de inércia e conservação do momento angular. Também vamos precisar entender como torque e aceleração angular funcionam quando há atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O carrossel tem massa $ M $ e raio $ R $, sendo que seu momento de inércia é $ I_c = \frac{1}{2} M R^2 $. A criança tem massa $ m $ e está se movendo com uma velocidade $ v_0 $ em direção ao carrossel, passando a uma distância $ r $ do eixo.
Quando a criança pula no carrossel, ela vai girar junto com ele. Para encontrar a velocidade angular $ \omega $ do sistema após a criança pular, vamos usar a conservação do momento angular. Isso significa que o momento angular antes da criança pular deve ser igual ao momento angular depois.
Passo 3
Calculando o momento angular antes do salto: a criança está se movendo em uma linha que passa a uma distância $ r $ do eixo, então o momento angular dela é $ L_{criança} = m v_0 r $.
Depois que a criança pula no carrossel, o momento angular total do sistema (carrossel + criança) é $ L_{total} = (I_c + I_{criança}) \omega $. O momento de inércia da criança em relação ao eixo do carrossel é $ I_{criança} = m R^2 $, já que ela está na borda do carrossel.
Passo 4
Igualando os momentos angulares antes e depois:
Agora, vamos resolver para $ \omega $:
Passo 5
Pronto, calculamos a velocidade angular $ \omega $ do carrossel após a criança pular nele. Agora, vamos para a próxima parte do problema!
Resposta
- A velocidade angular do carrossel e da criança imediatamente após a criança se agarrar é: