A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por
, em que
está em radianos e t em segundos. Qual é a aceleração angular instantânea no fim do intervalo de tempo que começa em
s e termina em
s?
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que a posição angular de uma roda é
$$\theta(t)=4t-3t2+t3$$
com $\theta$ em radianos e $t$ em segundos. A gente precisa descobrir a aceleração angular instantânea no final do intervalo de $t=2,0$;s até $t=4,0$;s. Na matéria, isso envolve derivar a função de posição duas vezes: a primeira derivada é a velocidade angular $\omega$, e a segunda derivada é a aceleração angular $\alpha$. Vamos usar regras de derivação básicas (derivada de monômio e soma de funções).
$$\theta(t)=4t-3t2+t3$$
com $\theta$ em radianos e $t$ em segundos. A gente precisa descobrir a aceleração angular instantânea no final do intervalo de $t=2,0$;s até $t=4,0$;s. Na matéria, isso envolve derivar a função de posição duas vezes: a primeira derivada é a velocidade angular $\omega$, e a segunda derivada é a aceleração angular $\alpha$. Vamos usar regras de derivação básicas (derivada de monômio e soma de funções).
Passo 2
Primeiro vamos achar a velocidade angular $\omega(t)$, que é $d\theta/dt$.
- Regra: se $f(t)=t^n$, então $f’(t)=n,t^{n-1}$.
- Também usamos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Aplicando em cada termo:
$$
\theta(t)=4t-3t2+t3
\implies
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}
=4\cdot1\cdot t^{1-1}-3\cdot2\cdot t^{2-1}+1\cdot3\cdot t^{3-1}
=4-6t+3t^2.
$$
Passo 3
Agora derivamos a velocidade para achar a aceleração angular $\alpha(t)$:
$$
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}
=\frac{d}{dt}(4-6t+3t^2)
=0-6\cdot1\cdot t^{1-1}+3\cdot2\cdot t^{2-1}
=-6+6t.
$$
Aqui a derivada de 4 é zero (constante), de $-6t$ é $-6$, e de $3t^2$ é $6t$.
$$
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}
=\frac{d}{dt}(4-6t+3t^2)
=0-6\cdot1\cdot t^{1-1}+3\cdot2\cdot t^{2-1}
=-6+6t.
$$
Aqui a derivada de 4 é zero (constante), de $-6t$ é $-6$, e de $3t^2$ é $6t$.
Passo 4
A aceleração angular instantânea no final do intervalo, ou seja, em $t=4,0$;s, é
$$
\alpha(4)=-6+6\cdot4=-6+24=18\quadrad/s^2.
$$
$$
\alpha(4)=-6+6\cdot4=-6+24=18\quadrad/s^2.
$$
Resposta
A aceleração angular instantânea em $t=4,0$;s é $18;\mathrm{rad/s^2}$.