• Um brinquedo possui uma mola para lançar dardos. O brinquedo é utilizado para lançar um dardo verticalmente para cima e o dardo atinge altura máxima de 24 m . O dardo é lançado novamente, mas desta vez a compressão da mola é metade da compressão na primeira situação. Se a resistência do ar for desprezível e considerando a mola ideal, a altura atingida no segundo lançamento é:
    A) 3 m
    B) 6 m
    C) 12 m
    D) 24 m
    E) NDA

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações: a mola é ideal (sem perdas), a resistência do ar é desprezível, no primeiro lançamento o dardo atinge altura máxima de 24\\ \text{m} e no segundo lançamento a compressão da mola é metade da compressão da primeira situação (ou seja, se a compressão inicial for x_1, a nova compressão é x_2 = \tfrac{x_1}{2}). Pergunta: qual a altura atingida no segundo lançamento?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): quando não há perdas (sem atrito, sem resistência do ar), a energia armazenada na mola é totalmente transformada em energia potencial gravitacional no ponto de altura máxima. A energia potencial elástica de uma mola ideal é dada por \displaystyle \frac{1}{2}k x^2, onde k é a constante da mola (medida em \text{N/m}) e x é a compressão da mola (em metros). A energia potencial gravitacional é \displaystyle m g h, onde m é a massa do dardo (em kg), g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}8\\ \text{m/s}^2, mas aqui vamos manter g simbólico) e h é a altura máxima (em metros). A ideia: energia elástica inicial = energia potencial gravitacional no topo.

Passo 3

Escrevendo a igualdade de energia para o primeiro lançamento (compressão x_1 e altura máxima h_1). Temos:
\frac{1}{2}k x_1^2 = m g h_1.
Aqui h_1 = 24\\ \text{m} (dado do enunciado). Não sabemos k, x_1 nem m, e nem precisamos saber — eles vão se cancelar.

Passo 4

Para o segundo lançamento a compressão é metade: x_2 = \tfrac{x_1}{2}. A igualdade de energia para o segundo lançamento (altura h_2) é:
\frac{1}{2}k x_2^2 = m g h_2.

Passo 5

Substituímos x_2 = \tfrac{x_1}{2} na expressão do passo anterior:
\frac{1}{2}k\left(\frac{x_1}{2}\right)^2 = m g h_2.
Calculando a potência:
\frac{1}{2}k\left(\frac{x_1^2}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}k x_1^2\right) = m g h_2.

Passo 6

Agora usamos a igualdade do passo 3, que diz que \displaystyle \frac{1}{2}k x_1^2 = m g h_1. Substituindo na equação do passo 5 obtemos:
\frac{1}{4}\big(m g h_1\big) = m g h_2.
Podemos cancelar m g dos dois lados (isso mostra que o resultado não depende da massa nem de k):
\frac{1}{4}h_1 = h_2.
Portanto h_2 = \dfrac{h_1}{4}.

Passo 7

Como h_1 = 24\\ \text{m}, temos
h_2 = \frac{24}{4} = 6\\ \text{m}.
Intuitivamente: energia elástica depende de x^2. Se a compressão é cortada pela metade, a energia cai para um quarto, logo a altura (proporcional à energia) também vira um quarto.

Resposta

(B) 6\\ \text{m}

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