Em uma expedição de sucesso do programa aeroespacial brasileiro, um conjunto de astronautas pousam em um certo planeta do nosso sistema solar. Para estimar a constante gravitacional g_{p} desse planeta, os astronautas arremessam uma pedra verticalmente com velocidade inicial v_{0} e observam que ela demora um tempo \Delta t para retornar ao solo. Supondo que não exista efeitos de atrito e resistência da atmosfera planetária, qual a expressão que relaciona g_{p}, v_{0} e \Delta t ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre elas:
  • Dados: a pedra é arremessada verticalmente para cima com velocidade inicial \(v_0).
  • Observação: a pedra demora um tempo \(\Delta t) para retornar ao solo (tempo total de subida + descida).
  • Suposição: não há atrito nem resistência do ar; a aceleração da gravidade no planeta é constante e dirigida para baixo, denotada por \(g_p).
  • Pedido: encontrar a expressão que relaciona \(g_p), \(v_0) e \(\Delta t).

Passo 2

Apresento as fórmulas de movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) que vamos usar, e explico o que cada símbolo significa.
  • Velocidade instantânea em função do tempo (para aceleração constante):
v(t)=v_0 - g_p\,t
Aqui:
  • \(v(t)) é a velocidade em um tempo t.
  • \(v_0) é a velocidade inicial (no instante t=0).
  • \(g_p) é a aceleração da gravidade do planeta (valor positivo; a equação tem o sinal negativo porque a gravidade atua para baixo enquanto v_0 é para cima).
  • \(t) é o tempo decorrido.
  • Posição vertical em função do tempo (referindo-se ao solo como \(y=0)):
y(t)=v_0\,t - \tfrac{1}{2}g_p\,t^2
Aqui:
  • \(y(t)) é a altura em relação ao solo no tempo t.
  • Os outros símbolos já foram explicados.
Vou usar essas fórmulas para encontrar a relação pedida.

Passo 3

Método 1 — usar o tempo até o ponto mais alto:
  • No ponto mais alto da trajetória a velocidade instantânea é zero, ou seja \(v(t_\text{top})=0). Usando a fórmula da velocidade:
0 = v_0 - g_p\,t_{\text{top}}
Resolvendo para \(t_{\text{top}}):
t_{\text{top}}=\frac{v_0}{g_p}
Explicação didática: isso significa que o tempo que a pedra leva para “perder” toda a velocidade inicial v_0 devido à aceleração g_p é \(v_0/g_p).

Passo 4

Continuando o método 1 — tempo total até voltar ao solo:
  • O movimento de subida e descida é simétrico (sem resistência do ar), então o tempo total \(\Delta t) é o dobro do tempo de subida:
\Delta t = 2\,t_{\text{top}}
Substituindo \(t_{\text{top}}=\dfrac{v_0}{g_p}):
\Delta t = 2\cdot\frac{v_0}{g_p}
Agora isolamos \(g_p):
g_p=\frac{2\,v_0}{\Delta t}

Passo 5

Método 2 — verificação via equação do deslocamento (controle de consistência):
  • A condição de que a pedra retorna ao solo em \(t=\Delta t) é \(y(\Delta t)=0). Usando a equação de posição:
0 = v_0\,\Delta t - \tfrac{1}{2}g_p\,(\Delta t)^2
Fatorando \(\Delta t) (observando que \(\Delta t\neq 0) porque o tempo total é positivo):
\Delta t\left(v_0 - \tfrac{1}{2}g_p\,\Delta t\right)=0
Daí vem
v_0 - \tfrac{1}{2}g_p\,\Delta t=0
e isolando \(g_p):
g_p=\frac{2\,v_0}{\Delta t}
Isso coincide com o resultado do Método 1 — ótimo, consistência confirmada.

Passo 6

Observações práticas e unidades:
  • Certifique-se de usar unidades consistentes: se \(v_0) estiver em metros por segundo ( \mathrm{m/s}) e \(\Delta t) em segundos ( \mathrm{s}), então \(g_p) vem em metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m/s^2}).
  • A fórmula assume que \(v_0>0) (lançamento para cima) e \(\Delta t>0). O resultado dá um \(g_p>0) consistente com o módulo da aceleração gravitacional.

Resposta

g_p=\frac{2\,v_0}{\Delta t}

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