Em uma expedição de sucesso do programa aeroespacial brasileiro, um conjunto de astronautas pousam em um certo planeta do nosso sistema solar. Para estimar a constante gravitacional
desse planeta, os astronautas arremessam uma pedra verticalmente com velocidade inicial
e observam que ela demora um tempo
para retornar ao solo. Supondo que não exista efeitos de atrito e resistência da atmosfera planetária, qual a expressão que relaciona
e
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre elas:
- Dados: a pedra é arremessada verticalmente para cima com velocidade inicial ).
- Observação: a pedra demora um tempo ) para retornar ao solo (tempo total de subida + descida).
- Suposição: não há atrito nem resistência do ar; a aceleração da gravidade no planeta é constante e dirigida para baixo, denotada por ).
- Pedido: encontrar a expressão que relaciona ), ) e ).
Passo 2
Apresento as fórmulas de movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) que vamos usar, e explico o que cada símbolo significa.
- Velocidade instantânea em função do tempo (para aceleração constante):
Aqui:
-
) é a velocidade em um tempo
. -
) é a velocidade inicial (no instante
). -
) é a aceleração da gravidade do planeta (valor positivo; a equação tem o sinal negativo porque a gravidade atua para baixo enquanto
é para cima). -
) é o tempo decorrido.
-
Posição vertical em função do tempo (referindo-se ao solo como )):
Aqui:
-
) é a altura em relação ao solo no tempo
. - Os outros símbolos já foram explicados.
Vou usar essas fórmulas para encontrar a relação pedida.
Passo 3
Método 1 — usar o tempo até o ponto mais alto:
- No ponto mais alto da trajetória a velocidade instantânea é zero, ou seja ). Usando a fórmula da velocidade:
Resolvendo para
):
Explicação didática: isso significa que o tempo que a pedra leva para “perder” toda a velocidade inicial
devido à aceleração
é
).
Passo 4
Continuando o método 1 — tempo total até voltar ao solo:
- O movimento de subida e descida é simétrico (sem resistência do ar), então o tempo total ) é o dobro do tempo de subida:
Substituindo
):
Agora isolamos
):
Passo 5
Método 2 — verificação via equação do deslocamento (controle de consistência):
- A condição de que a pedra retorna ao solo em ) é ). Usando a equação de posição:
Fatorando
) (observando que
) porque o tempo total é positivo):
Daí vem
e isolando
):
Isso coincide com o resultado do Método 1 — ótimo, consistência confirmada.
Passo 6
Observações práticas e unidades:
- Certifique-se de usar unidades consistentes: se
) estiver em metros por segundo (
) e ) em segundos ( ), então ) vem em metros por segundo ao quadrado ( ). - A fórmula assume que ) (lançamento para cima) e ). O resultado dá um ) consistente com o módulo da aceleração gravitacional.