A energia de ionização é a energia que o elétron deve receber para que não esteja mais ligado ao núcleo. Considerando o modelo atômico de Bohr e um um átomo de hidrogênio que está inicialmente no estado \operatorname{com} n=5. Qual é o maior comprimento de onda do fóton que é capaz de ionizar este elétron a partir de seu estado inicial?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
h=6,626 \times 10^{-34} J . s
m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
e=1,6 \times 10^{-19} C
c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o maior comprimento de onda do fóton que é capaz de ionizar um elétron que está inicialmente no estado com n=5 de um átomo de hidrogênio (segundo o modelo de Bohr)?”
Informações e dados fornecidos relevantes:
  • Estado inicial do elétron: n=5.
  • Constantes (usar quando necessário): h=6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, m_{e}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação: usar vírgula como separador decimal.

Passo 2

Entender o que significa “maior comprimento de onda que ioniza”: um fóton ioniza o elétron se sua energia for pelo menos igual à energia de ionização do elétron no estado n=5. Quanto maior o comprimento de onda \lambda, menor a energia do fóton ( E_{\text{fóton}}=\dfrac{hc}{\lambda}ó). Então o “maior comprimento de onda” corresponde ao menor valor de energia do fóton que ainda seja suficiente para ionizar — isto é, energia do fóton igual à energia necessária para levar o elétron de n=5 até n=\infty.

Passo 3

Recordando a fórmula dos níveis de energia no átomo de Bohr: a energia do nível n (em módulo) é dada por um valor padrão para o hidrogênio
\left|E_{n}\right|=\frac{13,6}{n^{2}}\\ \mathrm{eV},
onde 13,6\\ \mathrm{eV} é a energia do estado fundamental ( n=1) em módulo. Aqui \left|E_{n}\right| é a energia necessária para remover o elétron do nível n (ionização a partir desse nível).

Passo 4

Aplicando para n=5:
\left|E_{5}\right|=\frac{13,6}{5^{2}}\\ \mathrm{eV}=\frac{13,6}{25}\\ \mathrm{eV}=0,544\\ \mathrm{eV}.
Explicação: dividimos 13,6 por 25 porque 5^{2}=25.

Passo 5

Converter essa energia de elétron-volts para joules, usando 1\\ \mathrm{eV}=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J} (a carga elementar e nos dá essa conversão):
E_{\text{ion}}=0,544\\ \mathrm{eV}\times\left(1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{\frac{J}{eV}}\right)=0,544\times1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a multiplicação:
0,544\times1,6=0,8704,
portanto
E_{\text{ion}}=0,8704\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=8,704\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Relação entre energia do fóton e comprimento de onda:
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda}.ó
Aqui h é a constante de Planck (unidade \mathrm{J\cdot s}), c é a velocidade da luz (unidade \mathrm{m/s}), e \lambda é o comprimento de onda (unidade \mathrm{m}). Para o maior comprimento de onda que ioniza, igualamos E_{\text{fóton}}=E_{\text{ion}}ó, logo
\lambda_{\max}=\frac{hc}{E_{\text{ion}}}.

Passo 7

Calcular o numerador hc usando os valores fornecidos:
hc=(6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s})\times(3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})=6,626\times3\times10^{-34+8}\\ \mathrm{J\cdot m}.
6,626\times3=19,878,
logo
hc=19,878\times10^{-26}\\ \mathrm{J\cdot m}=1,9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.

Passo 8

Agora dividimos por E_{\text{ion}}=8,704\times10^{-20}\\ \mathrm{J}:
\lambda_{\max}=\frac{1,9878\times10^{-25}}{8,704\times10^{-20}}\\ \mathrm{m}.
Para dividir potências de dez e coeficientes:
\frac{1,9878}{8,704}\approx0,22841,
e a potência de dez fica 10^{-25-(-20)}=10^{-5}. Portanto
\lambda_{\max}\approx0,22841\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=2,2841\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Arredondando de forma razoável (consistente com as cifras das constantes dadas), tomamos três algarismos significativos:
\lambda_{\max}\approx2,28\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Também é útil expressar em unidades maiores: 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-6}\\ \mathrm{m}, então
\lambda_{\max}\approx2,28\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

\lambda_{\max}=2,28\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2,28\\ \mu\mathrm{m}

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