Um brinquedo de tiro ao alvo utiliza a energia armazenada em uma mola para lançar dardos. Imagine que numa determinada situação o brinquedo foi usado para lançar um dardo verticalmente para cima e o dardo atingiu uma altura máxima de 32 metros. O dardo é lançado novamente verticalmente para cima, mas desta vez a compressão da mola é metade da compressão na primeira situação. Se a resistência do ar for desprezível e considerando a mola ideal, a altura atingida no segundo lançamento é de
a) 64 metros.
b) 16 metros.
c) 08 metros.
d) 04 metros.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: No primeiro lançamento o dardo atingiu altura máxima de \;32\;\text{metros}.
  • Informação: No segundo lançamento a compressão da mola é metade da compressão usada no primeiro lançamento.
  • Informação: A resistência do ar é desprezível e a mola é ideal.
  • Pergunta: Qual a altura atingida no segundo lançamento? (opções: a) \;64\;\text{m}. b) \;16\;\text{m}. c) \;08\;\text{m}. d) \;04\;\text{m}.)

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicado devagar): energia armazenada numa mola ideal.
  • A energia elástica armazenada numa mola comprimida por uma distância \;x é dada por
E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde \;k é a constante da mola (medida de “rigidez”) e \;x é a compressão (deslocamento) da mola em metros.
  • Detalhe sobre variáveis: \;E_{\text{mola}} tem unidades de joules, \;k tem unidades de newton por metro e \;x em metros. Essa fórmula vem da integração da força elástica \;F=-kx ao deslocar a mola.

Passo 3

Conceito relacionado: energia potencial gravitacional no ponto mais alto.
  • Quando o dardo atinge altura máxima \;h, sua energia potencial gravitacional é
E_{\text{grav}}=m g h,
onde \;m é a massa do dardo, \;g é a aceleração da gravidade (aprox. \;9{,}8\;\text{m/s}^2) e \;h é a altura em metros.
  • Variáveis explicadas: \;E_{\text{grav}} em joules, \;m em kg, \;g em \text{m/s}^2, \;h em metros.

Passo 4

Princípio de conservação de energia no lançamento (explicação didática):
  • Como a resistência do ar é desprezível e não há perdas, a energia elástica inicial da mola transforma-se totalmente em energia potencial gravitacional no ponto mais alto do dardo.
  • Portanto, no topo do voo igualamos as energias:
\tfrac{1}{2}k x^{2}=m g h.
Isso significa: a energia que estava “presa” na mola vira a energia necessária para elevar o dardo até a altura \;h.

Passo 5

Isolando \;h da equação para ver a dependência entre compressão e altura:
h=\frac{\tfrac{1}{2}k x^{2}}{m g}=\frac{k}{2 m g}\,x^{2}.
  • Interpretação: com \;k, \;m e \;g fixos para os dois lançamentos, a altura \;h é proporcional ao quadrado da compressão \;x. Em linguagem simples: dobrar a compressão não dobra a altura — a altura cresce como o quadrado da compressão.

Passo 6

Comparação entre os dois lançamentos (usando a proporcionalidade):
  • Denote por \;x_{1} a compressão do primeiro lançamento e por \;h_{1} a altura correspondente; por \;x_{2} a compressão do segundo lançamento e por \;h_{2} a altura correspondente.
  • Pelas fórmulas, como \;k, \;m e \;g são os mesmos,
\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}=\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}.

Passo 7

Substituindo a informação de que a compressão no segundo lançamento é metade da do primeiro:
  • Temos \;x_{2}=\tfrac{1}{2}x_{1}. Então
\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
  • Portanto
\frac{h_{2}}{h_{1}}=\tfrac{1}{4}.

Passo 8

Calcule \;h_{2} usando \;h_{1}=\;32\;\text{m} (dado do enunciado):
h_{2}=h_{1}\cdot\tfrac{1}{4}=\;32\cdot\tfrac{1}{4}=\;8.
  • Colocando a unidade: \;h_{2}=\;8\;\text{metros}.

Passo 9

Conclusão final e ligação com as alternativas:
  • A altura obtida no segundo lançamento é \;8\;\text{m}, que corresponde à alternativa c) \;08\;\text{metros}.

Resposta

c) 08 metros.

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