Um brinquedo de tiro ao alvo utiliza a energia armazenada em uma mola para lançar dardos. Imagine que numa determinada situação o brinquedo foi usado para lançar um dardo verticalmente para cima e o dardo atingiu uma altura máxima de 32 metros. O dardo é lançado novamente verticalmente para cima, mas desta vez a compressão da mola é metade da compressão na primeira situação. Se a resistência do ar for desprezível e considerando a mola ideal, a altura atingida no segundo lançamento é de
a) 64 metros.
b) 16 metros.
c) 08 metros.
d) 04 metros.
a) 64 metros.
b) 16 metros.
c) 08 metros.
d) 04 metros.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: No primeiro lançamento o dardo atingiu altura máxima de
. - Informação: No segundo lançamento a compressão da mola é metade da compressão usada no primeiro lançamento.
- Informação: A resistência do ar é desprezível e a mola é ideal.
- Pergunta: Qual a altura atingida no segundo lançamento? (opções: a)
. b) . c) . d) .)
Passo 2
Conceito que precisamos usar (explicado devagar): energia armazenada numa mola ideal.
- A energia elástica armazenada numa mola comprimida por uma distância
é dada por
onde
é a constante da mola (medida de “rigidez”) e
é a compressão (deslocamento) da mola em metros.
- Detalhe sobre variáveis:
tem unidades de joules, tem unidades de newton por metro e em metros. Essa fórmula vem da integração da força elástica ao deslocar a mola.
Passo 3
Conceito relacionado: energia potencial gravitacional no ponto mais alto.
- Quando o dardo atinge altura máxima
, sua energia potencial gravitacional é
onde
é a massa do dardo,
é a aceleração da gravidade (aprox.
) e
é a altura em metros.
- Variáveis explicadas:
em joules, em kg, em , em metros.
Passo 4
Princípio de conservação de energia no lançamento (explicação didática):
- Como a resistência do ar é desprezível e não há perdas, a energia elástica inicial da mola transforma-se totalmente em energia potencial gravitacional no ponto mais alto do dardo.
- Portanto, no topo do voo igualamos as energias:
Isso significa: a energia que estava “presa” na mola vira a energia necessária para elevar o dardo até a altura
.
Passo 5
Isolando
da equação para ver a dependência entre compressão e altura:
- Interpretação: com
, e fixos para os dois lançamentos, a altura é proporcional ao quadrado da compressão . Em linguagem simples: dobrar a compressão não dobra a altura — a altura cresce como o quadrado da compressão.
Passo 6
Comparação entre os dois lançamentos (usando a proporcionalidade):
- Denote por
a compressão do primeiro lançamento e por a altura correspondente; por a compressão do segundo lançamento e por a altura correspondente. - Pelas fórmulas, como
, e são os mesmos,
Passo 7
Substituindo a informação de que a compressão no segundo lançamento é metade da do primeiro:
- Temos
. Então
- Portanto
Passo 8
Calcule
usando
(dado do enunciado):
- Colocando a unidade:
.
Passo 9
Conclusão final e ligação com as alternativas:
- A altura obtida no segundo lançamento é
, que corresponde à alternativa c) .
Resposta
c)
metros.