A extremidade de um fio está preso a um ponto fixo sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa e na outra extremidade do fio está preso um corpo que gira em movimento circular uniforme em torno deste ponto fixo. Marque a afirmação exata.
a) O movimento será circular uniforme, portanto a energia cinética irá variar.
b) O momento linear e a energia cinética do objeto variam.
c) O momento linear do objeto é constante porque a energia mecânica é constante.
d) O momento linear do objeto é constante porque a resultante das forças sobre o objeto é nula.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que marquemos a afirmação correta entre as quatro opções:
  • Um fio tem uma extremidade presa a um ponto fixo sobre uma mesa perfeitamente lisa e a outra extremidade presa a um corpo.
  • O corpo gira em movimento circular uniforme em torno do ponto fixo.
  • As alternativas a serem avaliadas são:
    a) O movimento será circular uniforme, portanto a energia cinética irá variar.
    b) O momento linear e a energia cinética do objeto variam.
    c) O momento linear do objeto é constante porque a energia mecânica é constante.
    d) O momento linear do objeto é constante porque a resultante das forças sobre o objeto é nula.

Passo 2

Definições e notação (vamos deixar tudo claro para poder usar nas contas):
  • Seja m a massa do corpo.
  • Seja v o módulo da velocidade do corpo (o “valor” da velocidade, sem considerar direção).
  • A velocidade vetorial é \vec{v}.
  • O momento linear (linear momentum) é \vec{p}=m\vec{v}.
  • A energia cinética é K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • A resultante das forças sobre o corpo é a força de tensão do fio, que vou chamar de \vec{T}.
Observação: o enunciado afirma que o movimento é “circular uniforme”, ou seja, o módulo da velocidade v é constante ao longo do tempo (só muda a direção da velocidade).

Passo 3

Relação entre movimento circular uniforme, velocidade e aceleração:
  • Em movimento circular uniforme, o corpo descreve raios de velocidade tangenciais; o módulo v é constante e a direção de \vec{v} muda continuamente.
  • A aceleração é centrípeta e vale, em módulo,
a=\frac{v^{2}}{r},
onde r é o raio do círculo. A aceleração aponta sempre para o centro do círculo (direção radial).
  • Pela segunda lei de Newton temos
\frac{d\vec{p}}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}=\vec{T}.
Isso mostra que existe uma resultante \vec{T} não nula (apontando para o centro) responsável pela mudança da direção de \vec{p}.

Passo 4

Trabalhando com energia: por que a energia mecânica é constante aqui?
  • A força de tensão \vec{T} é, em cada instante, perpendicular ao deslocamento instantâneo do corpo (deslocamento tangencial). O trabalho elementar feito pela tensão é
dW=\vec{T}\cdot d\vec{s}=0
porque o produto escalar de vetores perpendiculares é zero.
  • Como a única força que faz interação (no problema assume-se mesa lisa, sem atrito) não realiza trabalho, a energia cinética do corpo permanece constante. Logo a energia mecânica (aqui só energia cinética, já que não há variação de energia potencial associada ao movimento horizontal) é constante:
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\text{constante}.

Passo 5

Analisando o momento linear \vec{p}:
  • \vec{p}=m\vec{v}. Como \vec{v} muda de direção continuamente, o vetor \vec{p} também muda de direção; portanto o vetor momento linear \vec{p} não é constante (se considerarmos \vec{p} como vetor).
  • Entretanto o módulo do momento linear é
p=|\vec{p}|=m v,
e como v é constante, o módulo p é constante. Então vale a distinção importante: o vetor \vec{p} varia (direção muda), mas o módulo p é constante.

Passo 6

Aplicando as conclusões para cada alternativa:
  • a) “O movimento será circular uniforme, portanto a energia cinética irá variar.”
    Avaliação: falso. Em movimento circular uniforme o módulo da velocidade v é constante, logo K=\tfrac{1}{2}m v^{2} é constante. A conclusão da alternativa é o oposto do correto.
  • b) “O momento linear e a energia cinética do objeto variam.”
    Avaliação: falso. O vetor momento linear \vec{p} varia (mudança de direção), mas a energia cinética K não varia. Portanto a frase é incorreta ao dizer que ambos variam.
  • c) “O momento linear do objeto é constante porque a energia mecânica é constante.”
    Avaliação: aqui é preciso atenção à interpretação da palavra “momento linear”. Se interpretarmos “momento linear” como o vetor \vec{p}, a afirmativa é falsa, porque \vec{p} não é constante (sua direção varia). Se interpretarmos “momento linear” como o módulo p=mv, então essa magnitude é de fato constante e a razão “porque a energia mecânica é constante” é logicamente compatível (energia cinética constante implica v constante implica p=m v constante). A alternativa é ambígua, mas é a única que pode ser considerada verdadeira sob a interpretação de momento linear como magnitude.
  • d) “O momento linear do objeto é constante porque a resultante das forças sobre o objeto é nula.”
    Avaliação: falso. A resultante das forças não é nula — a força de tensão \vec{T} fornece a aceleração centrípeta — e é justamente essa resultante não nula que faz a direção de \vec{p} variar.

Passo 7

Decisão final sobre qual alternativa marcar:
  • Como discutido, a alternativa (c) é a que pode ser considerada correta se entendermos “momento linear” como o módulo p=mv. As demais alternativas são claramente falsas. A alternativa (c) usa a constância da energia mecânica (verdadeira aqui) para justificar a constância do momento linear em módulo (também verdadeira). Observação: se alguém interpretar “momento linear” estritamente como vetor, (c) estaria mal formulada; mas entre as opções dadas, (c) é a que melhor corresponde ao comportamento físico real do sistema.

Resposta

c)

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