(Brown, LeMay, Bursten, 2005) - A velocidade da reação \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOC}_{2} \mathrm{H}_{5(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH}_{(\mathrm{aq})}^{-} \rightarrow \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}_{(\mathrm{aq})} +\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}_{(\mathrm{aq})} foi medida a várias temperaturas e os seguintes dados foram obtidos:
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) k\left(\mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~L} \mathrm{~s}^{-1}\right)
15 0,0521
25 0,101
35 0,184
45 0,302
Usando estes dados, faça um gráfico \ln k versus 1 / \mathrm{T}, e a partir dele determine o valor de \mathrm{E}_{\mathrm{a}} para a reação.

Passo 1

O enunciado dá as constantes de velocidade k de uma reação a quatro temperaturas (15, 25, 35 e 45\circC) e pede a energia de ativação E_a. O modelo a usar é a equação de Arrhenius em forma linear:
\ln k = \ln A \;-\;\frac{E_a}{R}\,\frac{1}{T}
onde R é a constante dos gases 8{,}314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T a temperatura em kelvin. No gráfico de \ln k versus 1/T, o coeficiente angular m da reta satisfaz
m = -\frac{E_a}{R}\,.

Passo 2

Convertemos cada temperatura para kelvin e calculamos \tfrac{1}{T} e \ln k:
Temperatura 15\;^\circ\mathrm{C}:
T = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\;\mathrm{K},\quad \frac{1}{T}=0{,}003470\;\mathrm{K^{-1}},\quad \ln k = \ln(0{,}0521) \approx -2{,}954
Temperatura 25\;^\circ\mathrm{C}:
T = 298{,}15\;\mathrm{K},\quad \frac{1}{T}=0{,}003355\;\mathrm{K^{-1}},\quad \ln k = \ln(0{,}101) \approx -2{,}293
Temperatura 35\;^\circ\mathrm{C}:
T = 308{,}15\;\mathrm{K},\quad \frac{1}{T}=0{,}003245\;\mathrm{K^{-1}},\quad \ln k = \ln(0{,}184) \approx -1{,}694
Temperatura 45\;^\circ\mathrm{C}:
T = 318{,}15\;\mathrm{K},\quad \frac{1}{T}=0{,}003144\;\mathrm{K^{-1}},\quad \ln k = \ln(0{,}302) \approx -1{,}197

Passo 3

Para achar o coeficiente angular m fazemos uma regressão linear simples de \ln k em função de 1/T. O resultado (ou, de modo aproximado, usando apenas os extremos) é
m \;=\;\frac{\Delta(\ln k)}{\Delta(1/T)} \;=\;\frac{-1{,}197 - (-2{,}954)}{0{,}003144 - 0{,}003470} \approx -5{,}399\times 10^3\;\mathrm{K}\,.

Passo 4

Como m = -\tfrac{E_a}{R}, temos
E_a = -m\,R = 5{,}399\times 10^3\;\mathrm{K}\;\times 8{,}314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} \approx 4{,}49\times 10^4\;\mathrm{J/mol} = 44{,}9\;\mathrm{kJ/mol}.

Resposta

A energia de ativação é aproximadamente E_a = 44{,}9\;\mathrm{kJ/mol}.

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