A bucket of water is set spinning about its symmetry axis. Determine the shape of the water in the bucket.
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: “Um balde de água está girando em torno do seu eixo de simetria. Determine a forma da superfície livre da água.”
Conteúdo que vamos usar: estática de fluidos em um referencial em rotação.
O que precisamos saber:
Conteúdo que vamos usar: estática de fluidos em um referencial em rotação.
O que precisamos saber:
- Em um fluido em repouso (num referencial giratório) a pressão obedece a ∇p = ρ a_eff, onde a_eff é a soma da gravidade e da aceleração centrífuga.
- A superfície livre tem pressão constante (atmosférica), logo é uma superfície de potencial constante.
- Integrando essa condição, a gente acha a equação z®.
Passo 2
Primeiro monte a aceleração efetiva no referencial do balde que gira com velocidade angular ω:
- Gravidade: a_g = –g k̂ (para baixo, direção z negativa).
- Centrífuga: a_c = +ω² r r̂ (para fora, direção radial).
Então
Passo 3
Na estática de fluidos temos a equação de equilíbrio
Como a gente quer a superfície livre (onde p = p_{\rm atm}, constante), essa superfície é um nível de potencial
Aqui:
-
é o potencial gravitacional (variando com z). -
é o potencial centrífugo.
Passo 4
Então a superfície livre satisfaz
onde
Passo 5
Para fixar a referência, escolhemos que no eixo (
) a superfície fique em
. Assim
quando ,
.
Logo
quando
Logo
Resposta
A superfície livre da água forma um paraboloide de revolução dado por