A bucket of water is set spinning about its symmetry axis. Determine the shape of the water in the bucket.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: “Um balde de água está girando em torno do seu eixo de simetria. Determine a forma da superfície livre da água.”
Conteúdo que vamos usar: estática de fluidos em um referencial em rotação.
O que precisamos saber:
  • Em um fluido em repouso (num referencial giratório) a pressão obedece a ∇p = ρ a_eff, onde a_eff é a soma da gravidade e da aceleração centrífuga.
  • A superfície livre tem pressão constante (atmosférica), logo é uma superfície de potencial constante.
  • Integrando essa condição, a gente acha a equação z®.

Passo 2

Primeiro monte a aceleração efetiva no referencial do balde que gira com velocidade angular ω:
  • Gravidade: a_g = –g k̂ (para baixo, direção z negativa).
  • Centrífuga: a_c = +ω² r r̂ (para fora, direção radial).
    Então
arm eff = ag + ac = -,g,hat k ;+;omega^2,r,hat r

Passo 3

Na estática de fluidos temos a equação de equilíbrio
nabla p = rho,arm eff
Como a gente quer a superfície livre (onde p = p_{\rm atm}, constante), essa superfície é um nível de potencial
Phi(r,z)=Phig+Phic=;g,z;-;tfrac12,omega^2,r^2=constante
Aqui:
  • é o potencial gravitacional (variando com z).
  • é o potencial centrífugo.

Passo 4

Então a superfície livre satisfaz
g,z - tfrac12,omega^2,r^2 = C,
onde é uma constante que depende, por exemplo, do valor de no centro ( ).

Passo 5

Para fixar a referência, escolhemos que no eixo ( g,z - tfrac12,omega^2,r^2 = 0 Longrightarrow z(r) = omega^2,r^22,g) a superfície fique em . Assim
quando , .
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Resposta

A superfície livre da água forma um paraboloide de revolução dado por
boxed,z(r)=omega^2,r^22,g,,

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