A carousel (counter-clockwise merry-go-round) starts from rest and accelerates at a constant angular accleration of 0.02 revolutions
. A girl siting on a bench on the platform 7.0 m from the center is holding a 3.0 kg ball. Calculate the magnitude and direction of the force she must exert to hold the ball 6.0 s after the carousel starts to move. Give the direction with respect to the line from the center of rotation to the grl.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carrossel que começa do zero e acelera angularmente a uma taxa constante de 0,02 revoluções por segundo ao quadrado. Uma menina está sentada a 7,0 metros do centro e segura uma bola de 3,0 kg. Queremos descobrir qual a força que ela precisa exercer para segurar a bola, 6,0 segundos depois que o carrossel começou a se mover. Também precisamos indicar a direção dessa força em relação à linha que vai do centro de rotação até a menina.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física: aceleração angular, velocidade angular, força centrípeta e como calcular a força resultante em um movimento circular. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade angular da rotação após 6 segundos. Sabemos que a aceleração angular (
) é constante e vale 0,02 revoluções por segundo ao quadrado.
Mas, como usualmente trabalhamos com radianos em física, vamos converter revoluções para radianos. Lembrando que
revolução é igual a
radianos.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade angular (
) após 6 segundos usando a fórmula da aceleração angular:
onde
.
Então:
Passo 4
Com a velocidade angular, podemos calcular a velocidade tangencial (
) da bola. A velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
onde
.
Então:
Passo 5
Como o carrossel está acelerando angularmente, além da velocidade tangencial, também há uma aceleração tangencial (
) que precisa ser considerada. Essa aceleração é dada por:
Então:
Passo 6
A força que a menina precisa exercer na bola tem duas componentes: a força centrípeta (
) que mantém a bola em movimento circular, e a força resultante da aceleração tangencial (
) devido à aceleração angular do carrossel.
Calculamos
usando:
onde
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 7
Agora, calculamos a força tangencial
:
Passo 8
A força total que a menina precisa exercer na bola é a combinação dessas duas forças, que são perpendiculares entre si. Para encontrar a magnitude total (
), usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 9
Agora, vamos determinar a direção dessa força em relação à linha que vai do centro de rotação até a menina. Essa direção pode ser encontrada calculando o ângulo (
) formado pelas forças centrípeta e tangencial:
Então, a força está direcionada 12,5 graus na direção contrária à linha do centro até a menina.
Resposta
A menina deve exercer uma força de aproximadamente 12,2 N na bola, direcionada 12,5 graus contra a linha que vai do centro de rotação até ela.