A carousel (counter-clockwise merry-go-round) starts from rest and accelerates at a constant angular accleration of 0.02 revolutions / s^2. A girl siting on a bench on the platform 7.0 m from the center is holding a 3.0 kg ball. Calculate the magnitude and direction of the force she must exert to hold the ball 6.0 s after the carousel starts to move. Give the direction with respect to the line from the center of rotation to the grl.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carrossel que começa do zero e acelera angularmente a uma taxa constante de 0,02 revoluções por segundo ao quadrado. Uma menina está sentada a 7,0 metros do centro e segura uma bola de 3,0 kg. Queremos descobrir qual a força que ela precisa exercer para segurar a bola, 6,0 segundos depois que o carrossel começou a se mover. Também precisamos indicar a direção dessa força em relação à linha que vai do centro de rotação até a menina.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física: aceleração angular, velocidade angular, força centrípeta e como calcular a força resultante em um movimento circular. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular da rotação após 6 segundos. Sabemos que a aceleração angular ( alpha) é constante e vale 0,02 revoluções por segundo ao quadrado.
Mas, como usualmente trabalhamos com radianos em física, vamos converter revoluções para radianos. Lembrando que 1 revolução é igual a 2pi radianos.
Então:
alpha = 0,02 , rev/s^2 times 2pi , rad/rev = 0,04pi , rad/s^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade angular ( omega) após 6 segundos usando a fórmula da aceleração angular:
omega = alpha times t
onde t = 6,0 , s.
Então:
omega = 0,04pi , rad/s^2 times 6,0 , s = 0,24pi , rad/s

Passo 4

Com a velocidade angular, podemos calcular a velocidade tangencial ( v) da bola. A velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v = omega times r
onde r = 7,0 , m.
Então:
v = 0,24pi , rad/s times 7,0 , m = 1,68pi , m/s

Passo 5

Como o carrossel está acelerando angularmente, além da velocidade tangencial, também há uma aceleração tangencial ( at) que precisa ser considerada. Essa aceleração é dada por:
at = alpha times r
Então:
at = 0,04pi , rad/s^2 times 7,0 , m = 0,28pi , m/s^2

Passo 6

A força que a menina precisa exercer na bola tem duas componentes: a força centrípeta ( Fc) que mantém a bola em movimento circular, e a força resultante da aceleração tangencial ( Ft) devido à aceleração angular do carrossel.
Calculamos Fc usando:
Fc = m times v^2r
onde m = 3,0 , kg.
Primeiro, calculamos v^2:
v^2 = (1,68pi)^2 approx (5,28)^2 approx 27,86 , m^2/s^2
Então:
Fc = 3,0 , kg times 27,867,0 , m approx 3,0 times 3,98 approx 11,94 , N

Passo 7

Agora, calculamos a força tangencial Ft:
Ft = m times at = 3,0 , kg times 0,28pi , m/s^2 approx 3,0 times 0,88 approx 2,64 , N

Passo 8

A força total que a menina precisa exercer na bola é a combinação dessas duas forças, que são perpendiculares entre si. Para encontrar a magnitude total ( F), usamos o teorema de Pitágoras:
F = raizFc^2 + Ft^2 approx raiz(11,94)^2 + (2,64)^2 approx raiz142,56 + 6,97 approx raiz149,53 approx 12,23 , N

Passo 9

Agora, vamos determinar a direção dessa força em relação à linha que vai do centro de rotação até a menina. Essa direção pode ser encontrada calculando o ângulo ( theta) formado pelas forças centrípeta e tangencial:
theta = arctan(FtFc) = arctan(2,6411,94) approx arctan(0,221) approx 12,5^circ
Então, a força está direcionada 12,5 graus na direção contrária à linha do centro até a menina.

Resposta

A menina deve exercer uma força de aproximadamente 12,2 N na bola, direcionada 12,5 graus contra a linha que vai do centro de rotação até ela.

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