O Burj Khalifa nos Emirados Árabes, a construção mais alta do mundo, apresenta altura aproximada de 828 m. Estime a relação entre as pressões no topo e na base do edifício. Admita que a temperatura é uniforme e igual a . Compare este resultado com aquele que é obtido modelando o ar como incompressível e com peso específico igual a (valor padrão americano a 1 atm ).
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre como a pressão do ar varia com a altitude, usando o exemplo do Burj Khalifa, que tem 828 metros de altura. O conteúdo principal aqui é a estimativa da relação entre as pressões no topo e na base de um edifício alto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física dos fluidos, especificamente envolvendo gases compressíveis e gases incompressíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o ar como um gás ideal e compressível. Nesse caso, a pressão varia com a altitude de acordo com a equação barométrica. A fórmula para a relação entre a pressão no topo (p2) e na base (p1) é:
p2p1 = exp(-MghRT)
Aqui:
M é a massa molar do ar (0,029 , kg/mol),
g é a aceleração da gravidade (9,81 , m/s^2),
h é a altura (828 m),
R é a constante dos gases (8,314 , J/(mol·K)),
T é a temperatura absoluta em Kelvin (15°C + 273 = 288 , K).
Passo 3
Vamos calcular o expoente da equação:
- MghRT = - 0,029 times 9,81 times 8288,314 times 288
- 0,029 times 9,81 times 8288,314 times 288 approx -0,094
Agora, aplicamos a exponencial:
p2p1 = exp(-0,094) approx 0,911
Passo 4
Agora, vamos considerar o ar como incompressível, ou seja, com peso específico constante (gamma = 12,01 , N/m^3). Nesse caso, a variação de pressão com a altura é linear:
p2 = p1 - gamma h
Dividindo ambos os lados por p1:
p2p1 = 1 - gamma hp1
Assumindo que na base p1 é a pressão atmosférica padrão (101325 , Pa):
A relação entre as pressões no topo e na base do Burj Khalifa é aproximadamente $ \frac{p_2}{p_1} = 0,911 $ quando o ar é considerado compressível e $ \frac{p_2}{p_1} = 0,902 $ quando modelado como incompressível.