O Burj Khalifa nos Emirados Árabes, a construção mais alta do mundo, apresenta altura aproximada de 828 m. Estime a relação entre as pressões no topo e na base do edifício. Admita que a temperatura é uniforme e igual a 15^circ C. Compare este resultado com aquele que é obtido modelando o ar como incompressível e com peso específico igual a 12,01 N cdot m^-3 (valor padrão americano a 1 atm ).
R:[p2p1=0,906 lvert, p2p1=0,902]

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre como a pressão do ar varia com a altitude, usando o exemplo do Burj Khalifa, que tem 828 metros de altura. O conteúdo principal aqui é a estimativa da relação entre as pressões no topo e na base de um edifício alto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física dos fluidos, especificamente envolvendo gases compressíveis e gases incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o ar como um gás ideal e compressível. Nesse caso, a pressão varia com a altitude de acordo com a equação barométrica. A fórmula para a relação entre a pressão no topo (p2) e na base (p1) é:
p2p1 = exp(-MghRT)
Aqui:
  • M é a massa molar do ar ( 0,029 , kg/mol),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2),
  • h é a altura (828 m),
  • R é a constante dos gases ( 8,314 , J/(mol·K)),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin ( 15°C + 273 = 288 , K).

Passo 3

Vamos calcular o expoente da equação:
- MghRT = - 0,029 times 9,81 times 8288,314 times 288
- 0,029 times 9,81 times 8288,314 times 288 approx -0,094
Agora, aplicamos a exponencial:
p2p1 = exp(-0,094) approx 0,911

Passo 4

Agora, vamos considerar o ar como incompressível, ou seja, com peso específico constante ( gamma = 12,01 , N/m^3). Nesse caso, a variação de pressão com a altura é linear:
p2 = p1 - gamma h
Dividindo ambos os lados por p1:
p2p1 = 1 - gamma hp1
Assumindo que na base p1 é a pressão atmosférica padrão ( 101325 , Pa):
p2p1 = 1 - 12,01 times 828101325 approx 1 - 0,098 approx 0,902

Resposta

A relação entre as pressões no topo e na base do Burj Khalifa é aproximadamente $ \frac{p_2}{p_1} = 0,911 $ quando o ar é considerado compressível e $ \frac{p_2}{p_1} = 0,902 $ quando modelado como incompressível.

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