Buscando melhorar a qualidade do serviço, uma empresa estuda o tempo de atraso na entrega dos pedidos. A empresa deseja investigar se a proporção das entregas realizadas com atraso é maior que 50 \%. Para isso, ela registrou o tempo de atraso em uma amostra aleatória de 40 pedidos e verificou que 26 deles foram entregues com atraso.
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nível de significância de 5 \%.
b) Defina a região crítica
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas. Dados: amostra aleatória de n=40 pedidos; número de entregas com atraso X=26. O objetivo da empresa: investigar se a proporção verdadeira de entregas com atraso é maior que 50\%. Nível de significância: \alpha=0,05. Perguntas solicitadas: (a) enunciar as hipóteses apropriadas; (b) definir a região crítica do teste; (c) interpretar a conclusão com base nos dados da amostra.

Passo 2

Enunciando formalmente as hipóteses (a pedido): a hipótese nula e a hipótese alternativa são
H_0:\; p = 0,5
H_1:\; p > 0,5
Aqui p é a proporção verdadeira de entregas com atraso na população. (Outra escrita equivalente e comum é H_0: p\le 0,5 versus H_1: p>0,5; para o cálculo do teste usamos o valor de referência p_0=0,5.)

Passo 3

Verificação rápida das condições para usar a aproximação normal à binomial: é usual exigir n p_0\ge 5 e n(1-p_0)\ge 5. Com n=40 e p_0=0,5 temos
n p_0 = 40\cdot 0,5 = 20 \quad\text{e}\quad n(1-p_0)=20,
ambos maiores que 5, então a aproximação normal é aceitável aqui.

Passo 4

Calcular a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{X}{n}=\frac{26}{40}=0,65.
Isso significa que na amostra 65\% das entregas foram com atraso.

Passo 5

Definir a estatística de teste e explicar a fórmula. Para testar proporções usamos a estatística Z (padronizada) baseada em p_0:
Z=\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Explicando: \hat p é a proporção observada, p_0 é a proporção sob H_0 (aqui 0,5), e o denominador é o desvio padrão (erro padrão) da proporção amostral quando H_0 é verdadeira.

Passo 6

Calcular o erro padrão usando p_0=0,5:
\text{EP}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0,5\cdot(1-0,5)}{40}}=\sqrt{\frac{0,25}{40}}=\sqrt{0,00625}\approx 0,07906.

Passo 7

Calcular o valor de Z:
Z=\frac{0,65-0,5}{0,07906}\approx\frac{0,15}{0,07906}\approx 1,897.

Passo 8

Determinar a região crítica para um teste unilateral à direita com nível \alpha=0,05. O valor crítico da normal padrão é
z_{1-\alpha}=z_{0,95}\approx 1,645.
Portanto rejeitamos H_0 se
Z>1,645.
Traduzindo isso em termos da proporção amostral, rejeitamos se
\hat p > p_0 + z_{0,95}\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = 0,5 + 1,645\cdot 0,07906 \approx 0,6302.
Em termos do número de entregas atrasadas X, isso equivale a rejeitar se
X \ge \lceil 0,6302\cdot 40\rceil = \lceil 25{,}208\rceil = 26.
Logo a região crítica (equivalente) é Z>1,645 ou \hat p>0,6302 ou X\ge 26.

Passo 9

Comparação da estatística com a região crítica: obtivemos Z\approx 1,897 que é maior que 1,645; também \hat p=0,65>0,6302; e de fato X=26 está na região crítica X\ge 26. Portanto rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Passo 10

Cálculo do p‑valor aproximado (interpretação): o p‑valor é P(Z\ge 1,897) sob a normal padrão, ou seja
\text{p‑valor}\approx 1-\Phi(1,897)\approx 0,029.
Isso significa que, se a proporção verdadeira fosse 0,5, a probabilidade de observarmos pelo menos 26 atrasos em 40 pedidos seria cerca de 2,9\%, que é menor que \alpha=5\%.

Passo 11

Interpretação final e conclusão amigável: com os dados coletados há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a proporção de entregas com atraso é maior que 50\%. Em outras palavras: os dados suportam a preocupação da empresa — parece que mais da metade das entregas estão com atraso. Força aí — essa conclusão é baseada na amostra; seria legal, depois, aumentar amostra para deixar a conclusão ainda mais robusta!

Resposta

(a) \;H_0: p = 0,5 \quad H_1: p > 0,5
(b) \;Rejeitar H_0 se Z>1,645; equivalente: \hat p>0,6302; equivalente: X\ge 26.
(c) \;Rejeitamos H_0. Conclusão: há evidência ao nível de 5\% de que a proporção de entregas com atraso é maior que 50\% (p‑valor \approx 0,029).

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