Buscando melhorar a qualidade do serviço, uma empresa estuda o tempo de atraso na entrega dos pedidos. A empresa deseja investigar se a proporção das entregas realizadas com atraso é maior que
. Para isso, ela registrou o tempo de atraso em uma amostra aleatória de 40 pedidos e verificou que 26 deles foram entregues com atraso.
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nível de significância de
.
b) Defina a região crítica
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nível de significância de
b) Defina a região crítica
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas. Dados: amostra aleatória de
pedidos; número de entregas com atraso
. O objetivo da empresa: investigar se a proporção verdadeira de entregas com atraso é maior que
. Nível de significância:
. Perguntas solicitadas: (a) enunciar as hipóteses apropriadas; (b) definir a região crítica do teste; (c) interpretar a conclusão com base nos dados da amostra.
Passo 2
Enunciando formalmente as hipóteses (a pedido): a hipótese nula e a hipótese alternativa são
Aqui
é a proporção verdadeira de entregas com atraso na população. (Outra escrita equivalente e comum é
versus
; para o cálculo do teste usamos o valor de referência
.)
Passo 3
Verificação rápida das condições para usar a aproximação normal à binomial: é usual exigir
e
. Com
e
temos
ambos maiores que
, então a aproximação normal é aceitável aqui.
Passo 4
Calcular a proporção amostral
:
Isso significa que na amostra
das entregas foram com atraso.
Passo 5
Definir a estatística de teste e explicar a fórmula. Para testar proporções usamos a estatística
(padronizada) baseada em
:
Explicando:
é a proporção observada,
é a proporção sob
(aqui
), e o denominador é o desvio padrão (erro padrão) da proporção amostral quando
é verdadeira.
Passo 6
Calcular o erro padrão usando
:
Passo 7
Calcular o valor de
:
Passo 8
Determinar a região crítica para um teste unilateral à direita com nível
. O valor crítico da normal padrão é
Portanto rejeitamos
se
Traduzindo isso em termos da proporção amostral, rejeitamos se
Em termos do número de entregas atrasadas
, isso equivale a rejeitar se
Logo a região crítica (equivalente) é
ou
ou
.
Passo 9
Comparação da estatística com a região crítica: obtivemos
que é maior que
; também
; e de fato
está na região crítica
. Portanto rejeitamos
ao nível de
.
Passo 10
Cálculo do p‑valor aproximado (interpretação): o p‑valor é
sob a normal padrão, ou seja
Isso significa que, se a proporção verdadeira fosse
, a probabilidade de observarmos pelo menos
atrasos em
pedidos seria cerca de
, que é menor que
.
Passo 11
Interpretação final e conclusão amigável: com os dados coletados há evidência estatística, ao nível de
, de que a proporção de entregas com atraso é maior que
. Em outras palavras: os dados suportam a preocupação da empresa — parece que mais da metade das entregas estão com atraso. Força aí — essa conclusão é baseada na amostra; seria legal, depois, aumentar amostra para deixar a conclusão ainda mais robusta!
Resposta
(a)
(b) Rejeitar
se
; equivalente:
; equivalente:
.
(c) Rejeitamos
. Conclusão: há evidência ao nível de
de que a proporção de entregas com atraso é maior que
(p‑valor
).
(b)
(c)