Questão 2. Aplicações na aviação civil: O ATR-72 é uma aeronave comercial bimotora, pressurizada, de médio porte e propulsão turboélice, com asas altas. Tem capacidade para transportar até 72 passageiros em voos regionais. Foi desenvolvida e fabricada em larga escala na França, a partir da década de 1980, pela ATR (Avions de Transport Régional), que utilizou como base para sua criação o projeto do turboélice de porte médio ATR-42. Com o objetivo de estimar a carga média populacional \mu (entre passageiros e bagagens) foi considerado uma amostra de voos e os pesos observados das cargas totais (em toneladas) foram:
7,61 4,16 5,67 6,85 9,30 8,85 7,00 7,14 6,93 4,41 7,73 7,80
6,63 6,93 7,93 5,73 7,25 8,01 7,08 8,37 3,88 8,04 6,55
Assumindo que o peso X (em toneladas) da carga total em cada voo segue uma distribuição normal, responda:
Item a.) ( 1,0 ponto) Construa e interprete o I C(95 \%) para a carga média populacional da aeronave ATR-72.
Item b.) Qual deveria ser o tamanho da amostra, isto é, quantos voos deveríamos considerar para estimar a carga média populacional \mu assumindo um erro de estimativa de:
(i) (0,5 ponto ) Meia tonelada? A amostra é suficiente?
(ii) ( 0,5 ponto) 250 quilos? A amostra é suficiente?
(iii) ( 0,5 ponto) 200 quilos? A amostra é suficiente?
Item c.) Com o objetivo de estimar o peso médio \mu dos passageiros que usaram esse tipo de aeronave durante o ano de 2023, e assumindo que o peso X (em quilos) dos passageiros segue uma distribuição normal e assumindo um nível de confiança de 99%, foi considerada uma grande amostra em que obteve-se um desvio-padrão amostral S= 14,947 \mathrm{~kg} e o seguinte intervalo de confiança:
[67,700 \mathrm{~kg} \quad ; \quad 70,380 \mathrm{~kg}]
(i) \quad(0,5 ponto ) Interprete o intervalo acima.
(ii) (1,0) Baseado nestes dados do item (c), qual o tamanho da amostra de passageiros considerada em 2023?
(iii) ( 1,0 ponto) Assumindo o mesmo nível de confiança, quantos passageiros deveríamos pesar para estimar o peso médio populacional dos passageiros, isto é, qual deveria ser o tamanho da amostra assumindo um erro de estimativa de 2 kg ? A amostra foi suficiente? E assumindo um erro de estimativa de 1 kg ? A amostra foi suficiente?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra dos pesos totais de carga (passageiros + bagagens) em toneladas para voos do ATR-72. Perguntas:
  • Item a.) Construir e interpretar o intervalo de confiança de 95\% para a carga média populacional \mu.
  • Item b.) Calcular o tamanho de amostra necessário para erros de estimação específicos (i) 0,5 t, (ii) 0,25 t, (iii) 0,2 t, e dizer se a amostra atual é suficiente.
  • Item c.) Dado um intervalo de confiança 99\% para o peso médio dos passageiros em kg e o desvio-padrão amostral S, (i) interpretar o intervalo, (ii) descobrir o tamanho da amostra usada, (iii) calcular os tamanhos de amostra necessários para erros de 2 kg e 1 kg e verificar suficiência.
Informações relevantes extraídas do enunciado / tabela:
\text{Observações (ton): }7,61,\;4,16,\;5,67,\;6,85,\;9,30,\;8,85,\;7,00,\;7,14,\;6,93,\;4,41,\;7,73,\;7,80,çõ
6,63,\;6,93,\;7,93,\;5,73,\;7,25,\;8,01,\;7,08,\;8,37,\;3,88,\;8,04,\;6,55.
Número de observações: n=23.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar X. Primeiro somei todos os valores (mostro o total):
\sum_{i=1}^{23} x_i = 159,85\\ \text{ton}.
Logo a média amostral é
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{159,85}{23}=6,95\\ \text{ton}.
Comentário didático: a média amostral \bar X é a melhor estimativa pontual para a média populacional \mu. Aqui usamos \bar X como ponto central do intervalo de confiança.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral S. Fórmula (amigável): o desvio-padrão amostral mede a dispersão dos dados em torno da média e é
S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar X)^2}.
Eu calculei as diferenças x_i-\bar X, elevei ao quadrado e somei; o somatório dos quadrados das diferenças deu
\sum_{i=1}^{23}(x_i-\bar X)^2 = 43,3936\\ (\text{ton}^2).
Então
S=\sqrt{\frac{43,3936}{23-1}}=\sqrt{\frac{43,3936}{22}}=\sqrt{1,9724}\approx 1,404\\ \text{ton}.
Didática curta: usamos n-1 no denominador para corrigir o viés (estimador não viciado da variância populacional).

Passo 4

Item a) Construção do intervalo de confiança 95\% para \mu.
Método e por quê (didático): como assumimos X normal e a variância populacional é desconhecida, para amostras pequenas usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Fórmula do intervalo:
\bar X \pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}.
Aqui \alpha=0,05, n=23, df =22. Valor crítico aproximadamente
t_{0,975,22}\approx 2,0739.
Calculemos o erro padrão e a margem de erro:
\text{erro padrão } = \frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{1,404}{\sqrt{23}}\approx\frac{1,404}{4,796}\approx 0,293.ã
\text{margem de erro } = t_{0,975,22}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\approx 2,0739\times 0,293\approx 0,607.
Logo o intervalo de confiança 95\% é
\bar X \pm 0,607 \Rightarrow 6,95\pm 0,607.
Escrevendo nos limites:
[6,95-0,607\\ ;\\\ 6,95+0,607]=[6,343\\ ;\\\ 7,557]\\ \text{ton}.
Interpretação didática (passo a passo): dizer que o intervalo é [6,343\\ \text{t};\\\ 7,557\\ \text{t}] significa que, com nível de confiança 95\%, o procedimento de construção do intervalo tem 95\% de chance de capturar a verdadeira média populacional \mu. Na prática, estamos razoavelmente confiantes de que a carga média por voo está entre 6,343 e 7,557 toneladas.

Passo 5

Item b) Tamanho de amostra necessário para erro de estimação específico. Método (didático): para planejar n quando queremos um erro máximo E e assumimos uma estimativa para o desvio padrão (aqui usamos S amostral como proxy para \sigma), a fórmula aproximada (usualmente usada em planejamento) é
n \approx \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2,
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (para 95\%, z_{0,975}=1,96). Explico: usamos z porque ao planejar a amostra convencionamos a aproximação normal; se o tamanho for pequeno poderíamos iterar com t, mas aqui isso é o procedimento padrão de planejamento.
Usando \sigma\approx S=1,404\\ \text{ton} e z_{0,975}=1,96:
(i) Para E=0,5 t:
n \approx \left(\frac{1,96\times 1,404}{0,5}\right)^2 = \left(\frac{2,752}{0,5}\right)^2 = (5,504)^2 \approx 30,30.
Arredondamos para cima (sempre) para garantir o erro: n=31.
Comparação: amostra atual n=23 é insuficiente para garantir E=0,5 t.
(ii) Para E=0,25 t (250 kg):
n \approx \left(\frac{1,96\times 1,404}{0,25}\right)^2 = (11,008)^2 \approx 121,17\Rightarrow n=122.
Comparação: n=23 é insuficiente.
(iii) Para E=0,20 t (200 kg):
n \approx \left(\frac{1,96\times 1,404}{0,20}\right)^2 = (13,760)^2 \approx 189,4\Rightarrow n=190.
Comparação: n=23 é insuficiente.
Didática: sempre arredondar para cima porque se arredondasse para baixo poderíamos exceder o erro permitido.

Passo 6

Item c) (i) Interpretação do intervalo dado [67,700\\ \text{kg};\\\ 70,380\\ \text{kg}] com 99\% de confiança.
Interpretação didática: isso significa que, com nível de confiança 99\%, o procedimento de construção do intervalo gera um intervalo que, em média (em muitos experimentos repetidos), conterá o verdadeiro peso médio populacional \mu dos passageiros. Em termos práticos: estamos 99\% confiantes de que a média real do peso dos passageiros em 2023 está entre 67,700 kg e 70,380 kg.

Passo 7

Item c) (ii) Determinar o tamanho da amostra usada (a partir do intervalo e do S).
Método: para amostra grande o intervalo foi feito com a fórmula
\bar X \pm z_{1-\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}.
Podemos extrair a margem de erro (meia-ampulheta) do intervalo: metade da largura é
m=\frac{70,380-67,700}{2}=1,340\\ \text{kg}.
Para 99\%, z_{0,995}\approx 2,5758. Da relação
m = z_{0,995}\frac{S}{\sqrt{n}}
temos
n = \left(\frac{z_{0,995}S}{m}\right)^2.
Substituindo S=14,947\\ \text{kg}, m=1,340\\ \text{kg}:
n \approx \left(\frac{2,5758\times 14,947}{1,340}\right)^2 \approx \left(\frac{38,500}{1,340}\right)^2 \approx (28,717)^2 \approx 824,7.
Arredondando para cima: n=825 passageiros. Conclusão: a amostra considerada em 2023 tem aproximadamente 825 observações (isso bate com a afirmação de que foi uma grande amostra).

Passo 8

Item c) (iii) Tamanhos de amostra necessários para erros de 2 kg e 1 kg ao mesmo nível de confiança 99\%, usando S=14,947\\ \text{kg} e z_{0,995}=2,5758.
Fórmula já dada:
n=\left(\frac{z_{0,995}S}{E}\right)^2.
Para E=2 kg:
n \approx \left(\frac{2,5758\times 14,947}{2}\right)^2 = \left(\frac{38,500}{2}\right)^2 = (19,250)^2 \approx 370,6 \Rightarrow n=371.
Comparação: a amostra real n=825 é suficiente (pois 825\ge 371).
Para E=1 kg:
n \approx \left(\frac{2,5758\times 14,947}{1}\right)^2 = (38,500)^2 \approx 1.482.000\Rightarrow n\approx 1.483\\ \text{(arredondando para cima)}.
Comparação: a amostra real n=825 é insuficiente (pois 825<1.483).
Didática final rápida: reduzir o erro (de 2 para 1 kg) requer quadruplicar a amostra (aproximadamente), pois n cresce com 1/E^2.

Resposta

Item a.) [6,343\\ \text{t} \\ ;\\\ 7,557\\ \text{t}].
Item b.) (i) n=31. Amostra atual n=23 é insuficiente.
Item b.) (ii) n=122. Amostra atual n=23 é insuficiente.
Item b.) (iii) n=190. Amostra atual n=23 é insuficiente.
Item c.) (i) Interpret.: Com 99\% de confiança, o verdadeiro peso médio dos passageiros está entre 67,700\\ \text{kg} e 70,380\\ \text{kg}.
Item c.) (ii) Tamanho da amostra usada: n=825 (aprox.).
Item c.) (iii) Para E=2 kg: n=371. A amostra n=825 é suficiente.
Para E=1 kg: n=1.483. A amostra n=825 é insuficiente.

Exercícios relacionados