Um engenheiro deseja testar se a fração de itens defeituosos em um certo processo é maior que 10% para autorizar uma inspeção geral na fábrica. Para isso, uma amostra aleatória com 100 itens produzidos foi testada e 12 deles tiveram defeitos. Com essa amostra observada, e admitindo nível de significância de 5 \% :
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste.
b) Defina a região crítica.
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra? A inspeção deve ser realizada?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Enunciar as hipóteses apropriadas para o teste.
  • (b) Definir a região crítica do teste.
  • (c) Concluir a partir dos dados se a inspeção deve ser realizada.
Informações dadas (dados relevantes do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Número de itens defeituosos observados: x=12.
  • Proporção amostral observada: \hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{12}{100} (vamos calcular no passo seguinte).
  • Proporção sob hipótese nula (valor alvo): p_0=0{,}10 (10%).
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
  • Objetivo do engenheiro: testar se a fração de defeituosos é maior que 10\%.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática):
  • Queremos testar uma hipótese sobre uma proporção p. Como a amostra é relativamente grande ( n=100), podemos usar a aproximação normal para a distribuição da proporção amostral devido ao Teorema Central do Limite.
  • Condição prática para usar a aproximação normal: n p_0 e n(1-p_0) devem ser razoavelmente grandes (regra prática: pelo menos 5 ou 10). Aqui n p_0 = 100\cdot 0{,}10 = 10 e n(1-p_0)=90, ambos ok.
  • Estatística de teste (teste-z para proporção): z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
Explicando cada símbolo:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra.
  • p_0 é a proporção sob a hipótese nula.
  • n é o tamanho da amostra.
  • O denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral assumindo que p=p_0.
  • Como o engenheiro quer saber se a fração é maior que 10\%, o teste é unilateral (cauda direita).

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{12}{100}=0{,}12.
Ou seja, na amostra observamos 12\% de defeituosos.

Passo 4

Calcular o erro padrão sob H_0:
\text{SE}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}10\cdot 0{,}90}{100}}=\sqrt{\frac{0{,}09}{100}}=\sqrt{0{,}0009}=0{,}03.
Explicação curta: multiplicamos p_0(1-p_0)=0{,}10\cdot0{,}90=0{,}09, dividimos por n=100 para ajustar ao tamanho da amostra, e tiramos raiz quadrada para obter o desvio padrão da proporção.

Passo 5

Calcular a estatística de teste z:
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\text{SE}}=\frac{0{,}12-0{,}10}{0{,}03}=\frac{0{,}02}{0{,}03}=0{,}666\overline{6}\approx 0{,}667.
Interpretação intuitiva: a proporção observada está a cerca de 0{,}67 desvios-padrão acima do valor nulo 0{,}10; isso não é muito distante.

Passo 6

Enunciar formalmente as hipóteses (resposta da letra a):
H_0:\; p = 0{,}10
H_1:\; p > 0{,}10
Explicando: H_0 é a hipótese de que a proporção verdadeira é 10\%. H_1 (alternativa) é que a proporção é maior do que 10\%, que é o que o engenheiro quer detectar.

Passo 7

Definir a região crítica (resposta da letra b):
  • É um teste unilateral à direita com nível \alpha=0{,}05.
  • O valor crítico para a normal padrão é z_{1-\alpha}=z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
  • Região crítica: rejeitar H_0 se z>1{,}645.
    Explicando: escolhemos o quantil 0{,}95 da normal padrão porque deixamos 5\% de probabilidade de cometer erro tipo I (rejeitar H_0 quando ele é verdadeiro) toda nessa cauda direita.

Passo 8

Comparação com a estatística observada e p-valor:
  • Estatística calculada: z\approx 0{,}667.
  • Como 0{,}667 \le 1{,}645, não caímos na região crítica, então não rejeitamos H_0.
  • Calcular o p-valor (probabilidade, sob H_0, de obter z tão extremo ou mais na cauda direita):
\text{p-valor}=1-\Phi(0{,}667)\approx 1-0{,}7475=0{,}2525.
Onde \Phi é a função de distribuição cumulativa da normal padrão. Comentário: o p-valor é cerca de 0{,}25, muito maior que \alpha=0{,}05, portanto evidência fraca contra H_0.

Passo 9

Conclusão prática e interpretação (resposta da letra c) — linguagem direta e encorajadora:
  • Com os dados observados ( 12 defeituosos em 100), o teste não fornece evidência estatística suficiente para afirmar que a taxa de defeitos é maior que 10\% ao nível de significância de 5\%.
  • Em termos práticos: não rejeitamos H_0; portanto, com base nesta amostra, não há justificativa estatística para autorizar a inspeção geral.
  • Observação empática: pode ser frustrante — 12% parece maior que 10% — mas a variação amostral faz isso ser compatível com flutuação aleatória. Se a inspeção for cara e você quiser maior poder para detectar pequenas diferenças, considerar aumentar o tamanho da amostra pode ajudar.

Resposta

(a) H_0: p=0{,}10 \n H_1: p>0{,}10
(b) Região crítica: rejeitar H_0 se z>1{,}645 (com z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}).
(c) Estatística observada z\approx0{,}667, p-valor \approx0{,}2525; não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência suficiente para autorizar a inspeção geral.

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