Um engenheiro deseja testar se a fração de itens defeituosos em um certo processo é maior que 10% para autorizar uma inspeção geral na fábrica. Para isso, uma amostra aleatória com 100 itens produzidos foi testada e 12 deles tiveram defeitos. Com essa amostra observada, e admitindo nível de significância de
:
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste.
b) Defina a região crítica.
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra? A inspeção deve ser realizada?
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste.
b) Defina a região crítica.
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra? A inspeção deve ser realizada?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Enunciar as hipóteses apropriadas para o teste.
- (b) Definir a região crítica do teste.
- (c) Concluir a partir dos dados se a inspeção deve ser realizada.
Informações dadas (dados relevantes do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Número de itens defeituosos observados:
. - Proporção amostral observada:
(vamos calcular no passo seguinte). - Proporção sob hipótese nula (valor alvo):
(10%). - Nível de significância:
. - Objetivo do engenheiro: testar se a fração de defeituosos é maior que
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática):
- Queremos testar uma hipótese sobre uma proporção
. Como a amostra é relativamente grande ( ), podemos usar a aproximação normal para a distribuição da proporção amostral devido ao Teorema Central do Limite. - Condição prática para usar a aproximação normal:
e devem ser razoavelmente grandes (regra prática: pelo menos 5 ou 10). Aqui e , ambos ok. - Estatística de teste (teste-z para proporção):
Explicando cada símbolo:
-
é a proporção observada na amostra. -
é a proporção sob a hipótese nula. -
é o tamanho da amostra. - O denominador
é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral assumindo que . - Como o engenheiro quer saber se a fração é maior que
, o teste é unilateral (cauda direita).
Passo 3
Calcular a proporção amostral
:
Ou seja, na amostra observamos
de defeituosos.
Passo 4
Calcular o erro padrão sob
:
Explicação curta: multiplicamos
, dividimos por
para ajustar ao tamanho da amostra, e tiramos raiz quadrada para obter o desvio padrão da proporção.
Passo 5
Calcular a estatística de teste
:
Interpretação intuitiva: a proporção observada está a cerca de
desvios-padrão acima do valor nulo
; isso não é muito distante.
Passo 6
Enunciar formalmente as hipóteses (resposta da letra a):
Explicando:
é a hipótese de que a proporção verdadeira é
.
(alternativa) é que a proporção é maior do que
, que é o que o engenheiro quer detectar.
Passo 7
Definir a região crítica (resposta da letra b):
- É um teste unilateral à direita com nível
. - O valor crítico para a normal padrão é
. - Região crítica: rejeitar
se .
Explicando: escolhemos o quantilda normal padrão porque deixamos de probabilidade de cometer erro tipo I (rejeitar quando ele é verdadeiro) toda nessa cauda direita.
Passo 8
Comparação com a estatística observada e p-valor:
- Estatística calculada:
. - Como
, não caímos na região crítica, então não rejeitamos . - Calcular o p-valor (probabilidade, sob
, de obter tão extremo ou mais na cauda direita):
Onde
é a função de distribuição cumulativa da normal padrão. Comentário: o p-valor é cerca de
, muito maior que
, portanto evidência fraca contra
.
Passo 9
Conclusão prática e interpretação (resposta da letra c) — linguagem direta e encorajadora:
- Com os dados observados (
defeituosos em ), o teste não fornece evidência estatística suficiente para afirmar que a taxa de defeitos é maior que ao nível de significância de . - Em termos práticos: não rejeitamos
; portanto, com base nesta amostra, não há justificativa estatística para autorizar a inspeção geral. - Observação empática: pode ser frustrante — 12% parece maior que 10% — mas a variação amostral faz isso ser compatível com flutuação aleatória. Se a inspeção for cara e você quiser maior poder para detectar pequenas diferenças, considerar aumentar o tamanho da amostra pode ajudar.
Resposta
(a)
\n
(b) Região crítica: rejeitar se
(com
).
(c) Estatística observada , p-valor
; não rejeitamos
. Conclusão: não há evidência suficiente para autorizar a inspeção geral.
(b) Região crítica: rejeitar
(c) Estatística observada