Uma amostra de 6 solucoes de medicamentos manipulados foi investigada para avaliar a variancia na concentracao de uma certa substancia. A variancia observada nessa amostra foi de
. Assuma que a concetracao siga uma distribuicao Normal.
a) Construa um intervalo de confiança
para a variancia.
b) Se uma variabilidade menor que 0.8 indica que o processo de fabricacao esta regulado, usando o IC da letra a), o que voce diria sobre o processo ?
a) Construa um intervalo de confiança
b) Se uma variabilidade menor que 0.8 indica que o processo de fabricacao esta regulado, usando o IC da letra a), o que voce diria sobre o processo ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Dados fornecidos: uma amostra de
soluções; variância amostral observada
; assume-se distribuição Normal. Perguntas: (a) construir um intervalo de confiança de
para a variância verdadeira
; (b) interpretar esse intervalo em relação ao critério de que variabilidade menor que
indica processo regulado, ou seja, usar o IC da letra (a) para avaliar se o processo está regulado.
Passo 2
Qual a fórmula que vamos usar (e por quê). Quando a amostra vem de uma Normal, uma estatística que envolve a variância amostral e a variância populacional tem distribuição qui‑quadrado. A estatística é
onde
é o número de graus de liberdade. A partir dessa distribuição podemos inverter para obter um intervalo de confiança de nível
para
:
Aqui:
é o número de graus de liberdade;
é a variância amostral;
é o quantil de ordem
da distribuição
com
graus de liberdade (isto é, valor tal que
). Vou usar essa fórmula com
e nível de confiança
, logo
.
Passo 3
Identificar os quantis da qui‑quadrado necessários. Precisamos de
e de
. Esses valores são obtidos numa tabela da distribuição
(ou por calculadora/software). Usando a tabela, temos:
Eu peguei esses dois números na tabela da distribuição qui‑quadrado.
Passo 4
Calcular o numerador comum
. Como
e
,
Passo 5
Calcular os limites do intervalo usando a fórmula. O limite inferior é
O limite superior é
Portanto o intervalo de confiança de
para
é aproximadamente
, em unidades de
.
Passo 6
Interpretação e resposta à letra (b). O critério do problema diz que variabilidade menor que
indica processo regulado. Nosso intervalo de
para
é
. Observe que o valor
fica ligeiramente abaixo do limite inferior do intervalo (ou seja,
). Isso significa que, com
de confiança, a variância verdadeira não é tão pequena quanto
: o intervalo inteiro está acima de
. Logo, com base nesses dados e neste nível de confiança, não há evidência de que o processo esteja regulado; ao contrário, os dados sugerem que a variabilidade é maior do que
. Uma observação prática: a amostra é pequena (
), o que gera um IC muito amplo na parte superior; portanto a conclusão é razoável mas deve ser tomada com cautela e, se possível, confirmar com amostra maior.
Resposta
a)
\n
b) Com de confiança a variância verdadeira é maior que
; portanto, com base neste IC, o processo parece não estar regulado.
b) Com