Uma amostra de 6 solucoes de medicamentos manipulados foi investigada para avaliar a variancia na concentracao de uma certa substancia. A variancia observada nessa amostra foi de 2,1(\mathrm{mg} / \mathrm{dl}) 2. Assuma que a concetracao siga uma distribuicao Normal.
a) Construa um intervalo de confiança 95 \% para a variancia.
b) Se uma variabilidade menor que 0.8 indica que o processo de fabricacao esta regulado, usando o IC da letra a), o que voce diria sobre o processo ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Dados fornecidos: uma amostra de n=6 soluções; variância amostral observada s^{2}=2{,}1\;(\mathrm{mg}/\mathrm{dl})^{2}; assume-se distribuição Normal. Perguntas: (a) construir um intervalo de confiança de 95\% para a variância verdadeira \sigma^{2}; (b) interpretar esse intervalo em relação ao critério de que variabilidade menor que 0{,}8 indica processo regulado, ou seja, usar o IC da letra (a) para avaliar se o processo está regulado.

Passo 2

Qual a fórmula que vamos usar (e por quê). Quando a amostra vem de uma Normal, uma estatística que envolve a variância amostral e a variância populacional tem distribuição qui‑quadrado. A estatística é
\frac{(n-1)\,s^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{(n-1)},
onde (n-1) é o número de graus de liberdade. A partir dessa distribuição podemos inverter para obter um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2}:
\left(\;\frac{(n-1)\,s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}}\;,\;\frac{(n-1)\,s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}}\;\right).
Aqui: (n-1) é o número de graus de liberdade; s^{2} é a variância amostral; \chi^{2}_{p,\;k} é o quantil de ordem p da distribuição \chi^{2} com k graus de liberdade (isto é, valor tal que P(\chi^{2}_{k}\le \chi^{2}_{p,k})=p). Vou usar essa fórmula com n=6 e nível de confiança 95\%, logo \alpha=0{,}05.

Passo 3

Identificar os quantis da qui‑quadrado necessários. Precisamos de \chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}=\chi^{2}_{0{,}975,\;5} e de \chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}=\chi^{2}_{0{,}025,\;5}. Esses valores são obtidos numa tabela da distribuição \chi^{2} (ou por calculadora/software). Usando a tabela, temos:
\chi^{2}_{0{,}975,\;5}=12{,}832
\chi^{2}_{0{,}025,\;5}=0{,}831
Eu peguei esses dois números na tabela da distribuição qui‑quadrado.

Passo 4

Calcular o numerador comum (n-1)\,s^{2}. Como n=6 e s^{2}=2{,}1,
(n-1)\,s^{2}=5\times 2{,}1=10{,}5.

Passo 5

Calcular os limites do intervalo usando a fórmula. O limite inferior é
\frac{(n-1)\,s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}975,\;5}}=\frac{10{,}5}{12{,}832}\approx 0{,}818658\approx 0{,}819.
O limite superior é
\frac{(n-1)\,s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}025,\;5}}=\frac{10{,}5}{0{,}831}\approx 12{,}6357\approx 12{,}636.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para \sigma^{2} é aproximadamente (0{,}819,\;12{,}636), em unidades de (\mathrm{mg}/\mathrm{dl})^{2}.

Passo 6

Interpretação e resposta à letra (b). O critério do problema diz que variabilidade menor que 0{,}8 indica processo regulado. Nosso intervalo de 95\% para \sigma^{2} é (0{,}819,\;12{,}636). Observe que o valor 0{,}8 fica ligeiramente abaixo do limite inferior do intervalo (ou seja, 0{,}8<0{,}819). Isso significa que, com 95\% de confiança, a variância verdadeira não é tão pequena quanto 0{,}8: o intervalo inteiro está acima de 0{,}8. Logo, com base nesses dados e neste nível de confiança, não há evidência de que o processo esteja regulado; ao contrário, os dados sugerem que a variabilidade é maior do que 0{,}8. Uma observação prática: a amostra é pequena ( n=6), o que gera um IC muito amplo na parte superior; portanto a conclusão é razoável mas deve ser tomada com cautela e, se possível, confirmar com amostra maior.

Resposta

a) \displaystyle (0{,}819,\;12{,}636)\;(\mathrm{mg}/\mathrm{dl})^{2}\n
b) Com 95\% de confiança a variância verdadeira é maior que 0{,}8; portanto, com base neste IC, o processo parece não estar regulado.

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