A bússola de um avião mostra que ele se dirige para oeste, e seu velocímetro mostra que sua velocidade em relação ao ar é de
. A velocidade do vento é de
direção norte. Determine a velocidade do avião em relação ao solo. (
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
- Informação 1: A bússola mostra que o avião se dirige para oeste.
- Informação 2: A velocidade do avião em relação ao ar (velocidade do avião em relação à massa de ar) é
em direção oeste. - Informação 3: A velocidade do vento é
em direção norte. - Pergunta: Determinar a velocidade do avião em relação ao solo (ou seja, a velocidade resultante da soma vetorial da velocidade do avião relativa ao ar com a velocidade do vento).
Passo 2
Entendendo o que precisamos fazer (intuição vetorial).
Velocidades são vetores: têm magnitude e direção. A velocidade do avião em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do avião em relação ao ar com a velocidade do vento. Para somar vetores é útil decompor cada vetor em componentes ortogonais.
Velocidades são vetores: têm magnitude e direção. A velocidade do avião em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do avião em relação ao ar com a velocidade do vento. Para somar vetores é útil decompor cada vetor em componentes ortogonais.
Escolho um sistema de eixos simples:
- Eixo
: positivo para leste (logo oeste será negativo em ). - Eixo
: positivo para norte.
Agora represento as duas velocidades como vetores por seus componentes
.
Passo 3
Representação dos vetores usando as informações dadas.
- Velocidade do avião em relação ao ar: é
para oeste, isto é, sem componente norte-sul e apontando para o lado negativo de . Então seu vetor (pegando leste como positivo) é
- Velocidade do vento: é
para norte, isto é, sem componente leste-oeste e positiva em . Então
A velocidade do avião em relação ao solo é a soma vetorial:
Passo 4
Calcular a magnitude (velocidade escalar em relação ao solo) a partir das componentes.
Quando um vetor tem componentes , sua magnitude é dada pelo Teorema de Pitágoras:
Quando um vetor tem componentes
Aqui
e
. Note que o sinal de
não importa no quadrado, porque
.
Passo 5
Aplicando a fórmula e fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas).
Calcule os quadrados:
Some:
Agora a magnitude:
Para aproximar
sem calculadora, observe que
Como
fica entre esses valores, a raiz está entre
e
. Fazendo uma interpolação rápida,
Passo 6
Interpretação final (motivação): isso significa que, por causa do vento nortista, o avião que apontava para oeste com
terá uma velocidade em relação ao solo ligeiramente maior e direcionada para noroeste, com magnitude aproximadamente
. Não se confundir: o vento adiciona uma componente perpendicular que aumenta o módulo resultante.