Um CD contendo música possui raios interno e externo para o material gravado de
e
, respectivamente. Durante a execução, o disco é varrido a uma velocidade linear constante de
, iniciando da borda interna para a externa. (a) Se a velocidade angular inicial do disco é
, qual é a sua velocidade angular final? (b) As linhas da varredura em espiral estão separadas de
; qual é o comprimento total da varredura? (c) Qual é o tempo de execução?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (valores pegos do enunciado).
-
Dados:
- raio interno:
. - raio externo:
. - velocidade linear (constante):
. - espaçamento entre voltas da espiral:
.
- raio interno:
-
Perguntas:
(a) Calcular a velocidade angular finalquando o leitor está na borda externa .
(b) Calcular o comprimento total da varredura (comprimento da espiral) entree .
(c) Calcular o tempo de execução (tempo que leva para a leitura ir deaté ).
Passo 2
Entendimento físico útil (fórmula básica que vou usar para o item (a)).
- A velocidade linear tangencial na trilha é relacionada com a velocidade angular pela fórmula
onde:
-
é a velocidade linear (cm/s) medida ao longo da tangente à trilha, -
é a velocidade angular (rad/s), -
é o raio (cm) do ponto considerado.
Como aqui o enunciado diz que
é constante (modo CLV), quando o leitor está em
vale
e em
vale
.
Passo 3
Cálculo de (a): velocidade angular final.
Usando
e os valores dados:
Faço a divisão:
Com três algarismos significativos (compatível com os dados),
Passo 4
Como modelar a espiral e como achar o comprimento total (introdução didática).
- A trilha do CD pode ser modelada por uma espiral de Arquimedes do tipo
onde
é o ângulo (rad) e
controla o espaçamento entre voltas. Para essa espiral o espaçamento radial entre voltas consecutivas (separação medida ao longo do raio) é
. Como o enunciado dá o espaçamento entre voltas
, temos
- O comprimento de uma curva definida em coordenadas polares por
entre ângulos e é
Para
temos
. Fazendo a mudança de variável de
para
(isto é,
) obtemos
A integral tem expressão fechada, mas como
é muito pequeno comparado a
(espessura entre voltas micrométrica vs raios em cm), pode-se usar uma aproximação muito eficiente: desenvolver a integral e observar que os termos dominantes levam a
Substituindo
fica uma forma ainda mais simples e prática:
Esta fórmula é intuitiva: aprox. o comprimento total é proporcional à diferença das áreas (πr^2) dividida pela separação entre voltas
.
Passo 5
Cálculo de (b): comprimento da espiral usando a fórmula aproximada.
- Primeiro calculo a diferença dos quadrados dos raios:
- Uso a fórmula
com
. Então
Calculo o numerador:
Agora divido por
:
Convertendo em unidades maiores:
Arredondando a três algarismos significativos:
(Observação: o termo de correção exato vindo do
na integral é absolutamente desprezível aqui por causa de
muito pequeno, então a aproximação acima é perfeitamente adequada.)
Passo 6
Cálculo de (c): tempo de execução.
- Se o comprimento total da trilha é
e a velocidade linear com que a trilha passa pelo leitor é , o tempo total é
Tomando
e
:
Convertendo para minutos:
ou em horas: