Um CD contendo música possui raios interno e externo para o material gravado de 2,50 \mathrm{~cm} e 5,80 \mathrm{~cm}, respectivamente. Durante a execução, o disco é varrido a uma velocidade linear constante de 130 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, iniciando da borda interna para a externa. (a) Se a velocidade angular inicial do disco é 52,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, qual é a sua velocidade angular final? (b) As linhas da varredura em espiral estão separadas de 1,60 \mu \mathrm{~m}; qual é o comprimento total da varredura? (c) Qual é o tempo de execução?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (valores pegos do enunciado).
  • Dados:
    • raio interno: r_{1}=2{,}50\\ \mathrm{cm}.
    • raio externo: r_{2}=5{,}80\\ \mathrm{cm}.
    • velocidade linear (constante): v=130\\ \mathrm{cm/s}.
    • espaçamento entre voltas da espiral: s=1{,}60\\ \mu\mathrm{m}=1{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a velocidade angular final \omega_{\text{final}} quando o leitor está na borda externa r_{2}.
    (b) Calcular o comprimento total da varredura (comprimento da espiral) entre r_{1} e r_{2}.
    (c) Calcular o tempo de execução (tempo que leva para a leitura ir de r_{1} até r_{2}).

Passo 2

Entendimento físico útil (fórmula básica que vou usar para o item (a)).
  • A velocidade linear tangencial na trilha é relacionada com a velocidade angular pela fórmula
v=\omega r,
onde:
  • v é a velocidade linear (cm/s) medida ao longo da tangente à trilha,
  • \omega é a velocidade angular (rad/s),
  • r é o raio (cm) do ponto considerado.
Como aqui o enunciado diz que v é constante (modo CLV), quando o leitor está em r_{1} vale \omega_{\text{inicial}}=v/r_{1} e em r_{2} vale \omega_{\text{final}}=v/r_{2}.

Passo 3

Cálculo de (a): velocidade angular final.
Usando \omega_{\text{final}}=v/r_{2} e os valores dados:
\omega_{\text{final}}=\frac{130}{5{,}80}\\ \mathrm{rad/s}.
Faço a divisão:
\frac{130}{5{,}80}=22{,}41379\ldots
Com três algarismos significativos (compatível com os dados),
\omega_{\text{final}}\approx22{,}4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Como modelar a espiral e como achar o comprimento total (introdução didática).
  • A trilha do CD pode ser modelada por uma espiral de Arquimedes do tipo
r=a+b\theta,
onde \theta é o ângulo (rad) e b controla o espaçamento entre voltas. Para essa espiral o espaçamento radial entre voltas consecutivas (separação medida ao longo do raio) é 2\pi b. Como o enunciado dá o espaçamento entre voltas s, temos
s=2\pi b \quad\Rightarrow\quad b=\frac{s}{2\pi}.
  • O comprimento de uma curva definida em coordenadas polares por r(\theta) entre ângulos \theta_{1} e \theta_{2} é
L=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\\ d\theta.
Para r=a+b\theta temos \dfrac{dr}{d\theta}=b. Fazendo a mudança de variável de \theta para r (isto é, d\theta=dr/b) obtemos
L=\frac{1}{b}\int_{r_{1}}^{r_{2}}\sqrt{r^{2}+b^{2}}\\ dr.
A integral tem expressão fechada, mas como b é muito pequeno comparado a r (espessura entre voltas micrométrica vs raios em cm), pode-se usar uma aproximação muito eficiente: desenvolver a integral e observar que os termos dominantes levam a
L\approx\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{2b}.
Substituindo b=\dfrac{s}{2\pi} fica uma forma ainda mais simples e prática:
L\approx\pi\,\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{s}.
Esta fórmula é intuitiva: aprox. o comprimento total é proporcional à diferença das áreas (πr^2) dividida pela separação entre voltas s.

Passo 5

Cálculo de (b): comprimento da espiral usando a fórmula aproximada.
  • Primeiro calculo a diferença dos quadrados dos raios:
r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=5{,}80^{2}-2{,}50^{2}=33{,}64-6{,}25=27{,}39\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Uso a fórmula
L\approx\pi\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{s}
com s=1{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}. Então
L\approx\frac{\pi\cdot27{,}39}{1{,}60\times10^{-4}}\\ \mathrm{cm}.
Calculo o numerador:
\pi\cdot27{,}39\approx3{,}14159265\times27{,}39\approx86{,}048\\ (\text{aprox.}).
Agora divido por 1{,}60\times10^{-4}:
L\approx\frac{86{,}048}{1{,}60\times10^{-4}}=86{,}048\times\frac{1}{0{,}00016}\approx86{,}048\times6250=537{,}800\\ \mathrm{cm}.
Convertendo em unidades maiores:
L\approx5{,}378\times10^{5}\\ \mathrm{cm}=5{,}378\times10^{3}\\ \mathrm{m}=5{,}378\\ \mathrm{km}.
Arredondando a três algarismos significativos:
L\approx5{,}38\\ \mathrm{km}.
(Observação: o termo de correção exato vindo do b^{2}\ln na integral é absolutamente desprezível aqui por causa de b muito pequeno, então a aproximação acima é perfeitamente adequada.)

Passo 6

Cálculo de (c): tempo de execução.
  • Se o comprimento total da trilha é L e a velocidade linear com que a trilha passa pelo leitor é v, o tempo total é
t=\frac{L}{v}.
Tomando L\approx5{,}378\times10^{5}\\ \mathrm{cm} e v=130\\ \mathrm{cm/s}:
t\approx\frac{5{,}378\times10^{5}}{130}\\ \mathrm{s}\approx4{,}137\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
\frac{4{,}137}{60}\approx68{,}95\\ \text{min}\approx68{,}9\\ \text{min},
ou em horas:
\approx1{,}15\\ \text{h} \\ (\text{aprox. }1\\ \text{h }9\\ \text{min}).

Resposta

\displaystyle \omega_{\text{final}}=22{,}4\\ \mathrm{rad/s}
\displaystyle L\approx5{,}38\\ \mathrm{km}
\displaystyle t\approx4{,}14\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx68{,}9\\ \text{min}

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