No movimento circular uniforme, os vetores unitários
podem ser usados para descrever o movimento (
é a velocidade angular de rotação). Suponha que um objeto execute um movimento circular uniforme de período igual a
e raio de 50 cm , e que
. Em termos de
e
, determine:
a) o vetor posição; (
)
b) o vetor velocidade; (
)
c) o vetor aceleração. (
)
a) o vetor posição; (
b) o vetor velocidade; (
c) o vetor aceleração. (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Os vetores unitários são
- Os vetores unitários são
- Período do movimento:
. - Raio da trajetória:
. - Condição inicial:
(isso justifica a forma dos e dados). - O enunciado pede, em termos de
e :
a) o vetor posição;
b) o vetor velocidade;
c) o vetor aceleração.
Passo 2
Calcular a velocidade angular
a partir do período
.
- Relação entre período e velocidade angular:
. Aqui é o tempo de uma volta completa e tem unidades de . - Substituindo
: Portanto .
Passo 3
Determinar o vetor posição
.
- Em coordenadas polares (ou usando os vetores unitários radiais), um ponto na circunferência de raio fixo
é dado por onde é o módulo (o raio) e aponta radialmente do centro para a posição do objeto. Isso vem da definição de vetor posição: módulo vezes direção unitária. - Aqui
. Logo
Passo 4
Determinar o vetor velocidade
tomando derivada temporal de
.
- Regra:
. Como é constante (movimento circular uniforme), só precisamos derivar : - Calcular
. Usando e regra da cadeia: Observe que a expressão à direita é exatamente , porque . Portanto (Interpretação física: ao girar, a direção radial muda na direção tangencial.) - Então
- Substituindo
e :
Passo 5
Determinar o vetor aceleração
derivando
.
- Regra:
. Usando e lembrando que e são constantes: - Calcular
. Com , Fatorando obtemos (Interpretação: a mudança da direção tangencial aponta radialmente para dentro.) - Logo
- Substituindo
e :
Passo 6
Resumo físico e checagem rápida (para te motivar):
- A posição aponta radialmente e tem módulo
: . - A velocidade é puramente tangencial (direção de
) com módulo . - A aceleração é puramente centrípeta (aponta para o centro, sentido
) com módulo . - Tudo bate com a fórmula conhecida do MCU:
e . Você já conseguiu — tá indo bem!