No movimento circular uniforme, os vetores unitários
\begin{aligned} & \hat{r}(t)=\cos (\omega t) \hat{i}+\sin (\omega t) \hat{j} \quad \mathrm{e} \\\ & \hat{\theta}(t)=-\sin (\omega t) \hat{i}+\cos (\omega t) \hat{j} \end{aligned}
podem ser usados para descrever o movimento ( \omega é a velocidade angular de rotação). Suponha que um objeto execute um movimento circular uniforme de período igual a 0,50 s e raio de 50 cm , e que \theta(0)=0. Em termos de \hat{r}(t) e \hat{\theta}(t), determine:
a) o vetor posição; ( \vec{r}=\frac{1}{2} \hat{r}(t) )
b) o vetor velocidade; ( \vec{v}=2 \pi \hat{\theta}(t) )
c) o vetor aceleração. ( \vec{a}=-8 \pi^{2} \hat{r}(t) )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Os vetores unitários são \hat{r}(t)=\cos(\omega t)\,\hat{i}+\sin(\omega t)\,\hat{j},
\hat{\theta}(t)=-\sin(\omega t)\,\hat{i}+\cos(\omega t)\,\hat{j}.
  • Período do movimento: T=0{,}50\\ \mathrm{s}.
  • Raio da trajetória: 50\\ \mathrm{cm}= \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m}.
  • Condição inicial: \theta(0)=0 (isso justifica a forma dos \hat{r} e \hat{\theta} dados).
  • O enunciado pede, em termos de \hat{r}(t) e \hat{\theta}(t):
    a) o vetor posição \vec{r}(t);
    b) o vetor velocidade \vec{v}(t);
    c) o vetor aceleração \vec{a}(t).

Passo 2

Calcular a velocidade angular \omega a partir do período T.
  • Relação entre período e velocidade angular: \omega=\dfrac{2\pi}{T}. Aqui T é o tempo de uma volta completa e \omega tem unidades de \mathrm{rad/s}.
  • Substituindo T=0{,}50\\ \mathrm{s}: \omega=\frac{2\pi}{0{,}50}=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.Portanto \omega=4\pi.

Passo 3

Determinar o vetor posição \vec{r}(t).
  • Em coordenadas polares (ou usando os vetores unitários radiais), um ponto na circunferência de raio fixo r é dado por \vec{r}(t)=r\,\hat{r}(t),onde r é o módulo (o raio) e \hat{r}(t) aponta radialmente do centro para a posição do objeto. Isso vem da definição de vetor posição: módulo vezes direção unitária.
  • Aqui r=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m}. Logo \vec{r}(t)=\frac{1}{2}\,\hat{r}(t).

Passo 4

Determinar o vetor velocidade \vec{v}(t) tomando derivada temporal de \vec{r}(t).
  • Regra: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Como r é constante (movimento circular uniforme), só precisamos derivar \hat{r}(t): \vec{v}(t)=r\,\frac{d}{dt}\hat{r}(t).
  • Calcular \dfrac{d}{dt}\hat{r}(t). Usando \hat{r}(t)=\cos(\omega t)\,\hat{i}+\sin(\omega t)\,\hat{j} e regra da cadeia: \frac{d}{dt}\hat{r}(t)=-\omega\sin(\omega t)\,\hat{i}+\omega\cos(\omega t)\,\hat{j}.Observe que a expressão à direita é exatamente \omega\hat{\theta}(t), porque \hat{\theta}(t)=-\sin(\omega t)\,\hat{i}+\cos(\omega t)\,\hat{j}. Portanto \frac{d}{dt}\hat{r}(t)=\omega\,\hat{\theta}(t).(Interpretação física: ao girar, a direção radial muda na direção tangencial.)
  • Então \vec{v}(t)=r\,\omega\,\hat{\theta}(t).
  • Substituindo r=\tfrac{1}{2} e \omega=4\pi: \vec{v}(t)=\frac{1}{2}\cdot 4\pi\,\hat{\theta}(t)=2\pi\,\hat{\theta}(t).

Passo 5

Determinar o vetor aceleração \vec{a}(t) derivando \vec{v}(t).
  • Regra: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Usando \vec{v}(t)=r\omega\,\hat{\theta}(t) e lembrando que r e \omega são constantes: \vec{a}(t)=r\omega\,\frac{d}{dt}\hat{\theta}(t).
  • Calcular \dfrac{d}{dt}\hat{\theta}(t). Com \hat{\theta}(t)=-\sin(\omega t)\,\hat{i}+\cos(\omega t)\,\hat{j}, \frac{d}{dt}\hat{\theta}(t)=-\omega\cos(\omega t)\,\hat{i}-\omega\sin(\omega t)\,\hat{j}.Fatorando -\omega obtemos \frac{d}{dt}\hat{\theta}(t)=-\omega\bigl(\cos(\omega t)\,\hat{i}+\sin(\omega t)\,\hat{j}\bigr)=-\omega\,\hat{r}(t).(Interpretação: a mudança da direção tangencial aponta radialmente para dentro.)
  • Logo \vec{a}(t)=r\omega\cdot\bigl(-\omega\,\hat{r}(t)\bigr)=-r\omega^{2}\,\hat{r}(t).
  • Substituindo r=\tfrac{1}{2} e \omega=4\pi: \vec{a}(t)=-\frac{1}{2}\cdot(4\pi)^{2}\,\hat{r}(t)=-\frac{1}{2}\cdot 16\pi^{2}\,\hat{r}(t)=-8\pi^{2}\,\hat{r}(t).

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida (para te motivar):
  • A posição aponta radialmente e tem módulo 0{,}5\\ \mathrm{m}: \vec{r}=r\hat{r}.
  • A velocidade é puramente tangencial (direção de \hat{\theta}) com módulo v=r\omega=2\pi.
  • A aceleração é puramente centrípeta (aponta para o centro, sentido -\hat{r}) com módulo a=r\omega^{2}=8\pi^{2}.
  • Tudo bate com a fórmula conhecida do MCU: v=r\omega e a=v^{2}/r=r\omega^{2}. Você já conseguiu — tá indo bem!

Resposta

\vec{r}(t)=\frac{1}{2}\,\hat{r}(t)
\vec{v}(t)=2\pi\,\hat{\theta}(t)
\vec{a}(t)=-8\pi^{2}\,\hat{r}(t)

Exercícios relacionados