Uma partícula executa um movimento circular uniforme, com o centro da trajetória circular nas coordenadas
. A aceleração da partícula é dada por
(unidades do SI).
a) Obtenha o vetor velocidade.
b) Obtenha o vetor posição.
a) Obtenha o vetor velocidade.
b) Obtenha o vetor posição.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que pedem e o que temos):
- A aceleração é
(unidades SI). - O centro da trajetória circular está nas coordenadas
, ou seja, o centro é o ponto . - Pede-se:
(a) o vetor velocidade;
(b) o vetor posição.
Passo 2
Entender a forma da aceleração e ligar com movimento circular uniforme.
- Para um movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular , a posição relativa ao centro pode ser escrita (quando o raio é ) como
- A aceleração centrípeta vale
- Compare isso com a aceleração dada:
Pelo argumento dos cossenos e senos, vemos que
(porque os argumentos são
). Então os coeficientes satisfazem
. Como
, obtemos
Conclusão: o raio da trajetória é
e a posição relativa ao centro é
Passo 3
Obter o vetor velocidade integrando a aceleração — e justificar a constante de integração.
- Sabendo que
, integramos componente a componente:
- Calcule as integrais (usar
e ):
onde
é o vetor constante de integração. Simplificando os fatores:
- Agora precisamos determinar
. Use uma propriedade geométrica do movimento circular uniforme: a velocidade é sempre tangente à circunferência, ou seja, é ortogonal ao vetor posição relativa ao centro . Então para todo vale
Substituindo a expressão obtida para
:
O produto dos primeiros dois termos já é
então resta
para todo
. Isso significa que o produto escalar de
com um vetor que gira (varia com
) é sempre zero — a única forma disso ser verdade para todo
é
. Portanto
.
- Conclusão final para a velocidade:
Passo 4
Obter o vetor posição integrando a velocidade e ajustar constantes pela posição do centro.
- Como
, integramos:
- Calcule as integrais (usar
e ):
onde
é o vetor constante de integração. Simplificando:
-
Agora usamos a informação do centro da trajetória. A parte
é a posição relativa ao centro com raio . Portanto é exatamente o vetor posição do centro da circunferência. O enunciado deu o centro em , logo . -
Assim a posição completa é
Passo 5
Verificações rápidas (para aumentar confiança):
- Diferenciando
obtém-se encontrado no passo anterior. - Diferenciando
obtém-se do enunciado. - A posição relativa tem raio
e centro em , consistente com a aceleração centrípeta calculada.