Uma partícula executa um movimento circular uniforme, com o centro da trajetória circular nas coordenadas (2,0 \mathrm{~m},-2,0 \mathrm{~m}). A aceleração da partícula é dada por \vec{a}=-25 \cos (5 t) \hat{i}-25 \sin (5 t) \hat{j} (unidades do SI).
a) Obtenha o vetor velocidade. (\vec{v}=-5 \sin (5 t) \hat{i}+5 \cos (5 t) \hat{j})
b) Obtenha o vetor posição. (\vec{r}=(\cos (5 t)+2) \hat{i}+(\sin (5 t)-2) \hat{j}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que pedem e o que temos):
  • A aceleração é \displaystyle \vec{a}(t) = -25\cos(5t)\,\hat{i} -25\sin(5t)\,\hat{j} (unidades SI).
  • O centro da trajetória circular está nas coordenadas \displaystyle (2{,}0\\ \text{m},\,-2{,}0\\ \text{m}), ou seja, o centro é o ponto \displaystyle (2,\,-2).
  • Pede-se:
    (a) o vetor velocidade \displaystyle \vec{v}(t);
    (b) o vetor posição \displaystyle \vec{r}(t).

Passo 2

Entender a forma da aceleração e ligar com movimento circular uniforme.
  • Para um movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular \omega, a posição relativa ao centro pode ser escrita (quando o raio é R) como
\vec{r}_{\text{rel}}(t) = R\cos(\omega t)\,\hat{i} + R\sin(\omega t)\,\hat{j}.
  • A aceleração centrípeta vale
\vec{a}(t) = -\omega^2 \vec{r}_{\text{rel}}(t) = -\omega^2 R\cos(\omega t)\,\hat{i} -\omega^2 R\sin(\omega t)\,\hat{j}.
  • Compare isso com a aceleração dada:
\vec{a}(t) = -25\cos(5t)\,\hat{i} -25\sin(5t)\,\hat{j}.
Pelo argumento dos cossenos e senos, vemos que \omega = 5 (porque os argumentos são 5t). Então os coeficientes satisfazem \omega^2 R = 25. Como \omega^2 = 5^2 = 25, obtemos
R = \frac{25}{\omega^2} = \frac{25}{25} = 1.
Conclusão: o raio da trajetória é R=1 e a posição relativa ao centro é \displaystyle \vec{r}_{\text{rel}}(t)=\cos(5t)\,\hat{i}+\sin(5t)\,\hat{j}.

Passo 3

Obter o vetor velocidade integrando a aceleração — e justificar a constante de integração.
  • Sabendo que \displaystyle \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}, integramos componente a componente:
\begin{aligned} \vec{v}(t) &= \int \vec{a}(t)\,dt = \int \big(-25\cos(5t)\,\hat{i} -25\sin(5t)\,\hat{j}\big)\,dt \\\ &= -25\int \cos(5t)\,dt\\ \hat{i} -25\int \sin(5t)\,dt\\ \hat{j}. \end{aligned}
  • Calcule as integrais (usar \int \cos(5t)dt = \tfrac{1}{5}\sin(5t) e \int \sin(5t)dt = -\tfrac{1}{5}\cos(5t)):
\vec{v}(t) = -25\cdot\frac{1}{5}\sin(5t)\,\hat{i} -25\cdot\left(-\frac{1}{5}\cos(5t)\right)\,\hat{j} + \vec{C},
onde \vec{C}=(C_x,C_y) é o vetor constante de integração. Simplificando os fatores:
\vec{v}(t) = -5\sin(5t)\,\hat{i} +5\cos(5t)\,\hat{j} + \vec{C}.
  • Agora precisamos determinar \vec{C}. Use uma propriedade geométrica do movimento circular uniforme: a velocidade é sempre tangente à circunferência, ou seja, é ortogonal ao vetor posição relativa ao centro \vec{r}_{\text{rel}}(t). Então para todo t vale
\vec{v}(t)\cdot \vec{r}_{\text{rel}}(t)=0.
Substituindo a expressão obtida para \vec{v}:
\big(-5\sin(5t)\,\hat{i} +5\cos(5t)\,\hat{j} + \vec{C}\big)\cdot\big(\cos(5t)\,\hat{i}+\sin(5t)\,\hat{j}\big)=0.
O produto dos primeiros dois termos já é
-5\sin(5t)\cos(5t)+5\cos(5t)\sin(5t)=0,
então resta \vec{C}\cdot\big(\cos(5t)\,\hat{i}+\sin(5t)\,\hat{j}\big)=0 para todo t. Isso significa que o produto escalar de \vec{C} com um vetor que gira (varia com t) é sempre zero — a única forma disso ser verdade para todo t é \vec{C}=\vec{0}. Portanto \vec{C}=\vec{0}.
  • Conclusão final para a velocidade:
\vec{v}(t) = -5\sin(5t)\,\hat{i} +5\cos(5t)\,\hat{j}.

Passo 4

Obter o vetor posição integrando a velocidade e ajustar constantes pela posição do centro.
  • Como \displaystyle \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}, integramos:
\vec{r}(t)=\int \vec{v}(t)\,dt = \int \big(-5\sin(5t)\,\hat{i} +5\cos(5t)\,\hat{j}\big)\,dt.
  • Calcule as integrais (usar \int \sin(5t)dt = -\tfrac{1}{5}\cos(5t) e \int \cos(5t)dt = \tfrac{1}{5}\sin(5t)):
\vec{r}(t) = -5\cdot\left(-\frac{1}{5}\cos(5t)\right)\,\hat{i} +5\cdot\frac{1}{5}\sin(5t)\,\hat{j} + \vec{A},
onde \vec{A}=(A_x,A_y) é o vetor constante de integração. Simplificando:
\vec{r}(t) = \cos(5t)\,\hat{i} + \sin(5t)\,\hat{j} + \vec{A}.
  • Agora usamos a informação do centro da trajetória. A parte \cos(5t)\,\hat{i}+\sin(5t)\,\hat{j} é a posição relativa ao centro com raio R=1. Portanto \vec{A} é exatamente o vetor posição do centro da circunferência. O enunciado deu o centro em (2,\,-2), logo \vec{A}=2\,\hat{i}-2\,\hat{j}.
  • Assim a posição completa é
\vec{r}(t) = \big(\cos(5t)+2\big)\,\hat{i} + \big(\sin(5t)-2\big)\,\hat{j}.

Passo 5

Verificações rápidas (para aumentar confiança):
  • Diferenciando \vec{r}(t) obtém-se \vec{v}(t) encontrado no passo anterior.
  • Diferenciando \vec{v}(t) obtém-se \vec{a}(t) do enunciado.
  • A posição relativa tem raio 1 e centro em (2,-2), consistente com a aceleração centrípeta calculada.

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t) = -5\sin(5t)\,\hat{i} + 5\cos(5t)\,\hat{j}\n
\displaystyle \vec{r}(t) = \big(\cos(5t)+2\big)\,\hat{i} + \big(\sin(5t)-2\big)\,\hat{j}

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