(c) Se um apostador marcar 10 números em um único volante, qual a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações vou usar (essas informações são as convenções da Mega‑Sena, que são implícitas no enunciado ao citar “Sena”). O enunciado pergunta duas coisas:
- Qual a probabilidade de um apostador acertar a Sena se marcar
números num único volante? - Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?
Informações relevantes (usadas como padrão da Mega‑Sena):
- Total de números possíveis:
. - Números sorteados na Sena:
. - Uma aposta simples marca
números; a aposta do enunciado marca números.
Passo 2
Raciocínio combinatório — por que usamos combinações?
Para ganhar (acertar os
números sorteados) quando se marca
números, é preciso que os
números sorteados estejam todos dentro dos
escolhidos. Então:
- Número de resultados igualmente prováveis para o sorteio (escolhas de
dentre ): . Esse é o total de combinações possíveis do sorteio. - Número de resultados favoráveis (escolher as
vencedoras dentro das marcadas): .
Portanto a probabilidade pedida é a razão
Aqui uma mini‑aula sobre combinações:
(lê‑se “n escolhe k”) conta quantas formas de escolher
elementos de um conjunto com
elementos, sem ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) é
. Essa fórmula evita contar permutações repetidas porque divide por
que corresponde às ordens internas das
escolhidas.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Usando a fórmula:
É mais prático simplificar para produto curto:
Agora calcular:
Passo 4
Calcular
de forma prática (evitar escrever
).
Usar a expressão reduzida:
Calcular o numerador passo a passo:
Agora dividir por
:
Passo 5
Montar a probabilidade exata e calcular aproximações numéricas.
A probabilidade de acertar a Sena marcando
números é
Converter para decimal (aproximação):
Converter para porcentagem:
Passo 6
Calcular a probabilidade da aposta simples para comparar e obter o fator de aumento.
Probabilidade de uma aposta simples (marcando
números) é
Como vimos antes, a probabilidade da aposta de
números é exatamente
vezes a probabilidade simples, porque:
Ou seja, a aposta de
números tem probabilidade
vezes maior que a aposta simples.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: a técnica é sempre a mesma em problemas desses — conte as combinações favoráveis e divida pelo total de combinações possíveis. Se ficar nervoso na prova, pense: “quantas maneiras de obter o resultado que eu quero, dividido por todas as maneiras possíveis do sorteio?” — e use
.