(c) Se um apostador marcar 10 números em um único volante, qual a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações vou usar (essas informações são as convenções da Mega‑Sena, que são implícitas no enunciado ao citar “Sena”). O enunciado pergunta duas coisas:
  1. Qual a probabilidade de um apostador acertar a Sena se marcar \,10 números num único volante?
  2. Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?
Informações relevantes (usadas como padrão da Mega‑Sena):
  • Total de números possíveis: \,60.
  • Números sorteados na Sena: \,6.
  • Uma aposta simples marca \,6 números; a aposta do enunciado marca \,10 números.

Passo 2

Raciocínio combinatório — por que usamos combinações?
Para ganhar (acertar os \,6 números sorteados) quando se marca \,10 números, é preciso que os \,6 números sorteados estejam todos dentro dos \,10 escolhidos. Então:
  • Número de resultados igualmente prováveis para o sorteio (escolhas de \,6 dentre \,60): \displaystyle \binom{60}{6}. Esse é o total de combinações possíveis do sorteio.
  • Número de resultados favoráveis (escolher as \,6 vencedoras dentro das \,10 marcadas): \displaystyle \binom{10}{6}.
Portanto a probabilidade pedida é a razão
\text{Probabilidade}=\frac{\displaystyle \binom{10}{6}}{\displaystyle \binom{60}{6}}.
Aqui uma mini‑aula sobre combinações: \displaystyle \binom{n}{k} (lê‑se “n escolhe k”) conta quantas formas de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem ordem. A fórmula é
\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Essa fórmula evita contar permutações repetidas porque divide por k! que corresponde às ordens internas das k escolhidas.

Passo 3

Calcular \displaystyle \binom{10}{6} passo a passo.
Usando a fórmula:
\displaystyle \binom{10}{6}=\frac{10!}{6!4!}.
É mais prático simplificar para produto curto:
\displaystyle \binom{10}{6}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora calcular:
10\cdot9\cdot8\cdot7=5040, \qquad 4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
\displaystyle \binom{10}{6}=\frac{5040}{24}=210.

Passo 4

Calcular \displaystyle \binom{60}{6} de forma prática (evitar escrever 60!).
Usar a expressão reduzida:
\displaystyle \binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} =\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{720}.
Calcular o numerador passo a passo:
60\cdot59=3540,
3540\cdot58=205320,
205320\cdot57=11\,703\,240,
11\,703\,240\cdot56=655\,381\,440,
655\,381\,440\cdot55=36\,045\,979\,200.
Agora dividir por 720:
\displaystyle \binom{60}{6}=\frac{36\,045\,979\,200}{720}=50\,063\,860.

Passo 5

Montar a probabilidade exata e calcular aproximações numéricas.
A probabilidade de acertar a Sena marcando \,10 números é
\text{Probabilidade}=\frac{\displaystyle \binom{10}{6}}{\displaystyle \binom{60}{6}}=\frac{210}{50\,063\,860}.
Converter para decimal (aproximação):
\frac{210}{50\,063\,860}\approx 0,000004195.
Converter para porcentagem:
0,000004195\times100\% \approx 0,0004195\%.

Passo 6

Calcular a probabilidade da aposta simples para comparar e obter o fator de aumento.
Probabilidade de uma aposta simples (marcando \,6 números) é
\text{Probabilidade simples}=\frac{1}{\displaystyle \binom{60}{6}}=\frac{1}{50\,063\,860}\approx 0,00000001997\approx 0,000001997\%.
Como vimos antes, a probabilidade da aposta de \,10 números é exatamente \displaystyle \binom{10}{6} vezes a probabilidade simples, porque:
\frac{\displaystyle \binom{10}{6}}{\displaystyle \binom{60}{6}} \Big/ \frac{1}{\displaystyle \binom{60}{6}}=\displaystyle \binom{10}{6}=210.
Ou seja, a aposta de \,10 números tem probabilidade \,210 vezes maior que a aposta simples.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: a técnica é sempre a mesma em problemas desses — conte as combinações favoráveis e divida pelo total de combinações possíveis. Se ficar nervoso na prova, pense: “quantas maneiras de obter o resultado que eu quero, dividido por todas as maneiras possíveis do sorteio?” — e use \displaystyle \binom{n}{k}.

Resposta

\displaystyle \text{Probabilidade}=\frac{\binom{10}{6}}{\binom{60}{6}}=\frac{210}{50\,063\,860}\approx 0,000004195\\ (\approx 0,0004195\%)
\displaystyle 210 vezes

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