1. O Problema de Banach. Um matemático carrega duas caixas de fósforos, uma no bolso esquerdo e outra no direito. Cada caixa contém inicialmente n fósforos. Cada vez que ele precisa de um fósforo, escolhe um bolso ao acaso. No momento em que ele retira uma caixa e percebe que ela está vazia, qual é a probabilidade de que a outra caixa contenha exatamente k fósforos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Duas caixas (bolsos) contendo inicialmente n fósforos cada.
  • A cada vez que ele precisa de um fósforo, escolhe um dos bolsos ao acaso, com probabilidade 1/2 para cada bolso, escolhas independentes.
  • O processo termina no instante em que ele retira uma caixa e percebe que ela está vazia (ou seja, a retirada revelou que esse bolso tinha 0 fósforos).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse momento em que encontra a primeira caixa vazia, a outra caixa contenha exatamente k fósforos?
Observações importantes que peguei do enunciado:
  • k é um inteiro e necessariamente 0 \le k \le n.
  • Não há informação sobre preferências: cada retirada é L (esquerdo) ou R (direito) com probabilidade 1/2 independente.

Passo 2

Traduzindo o problema para contagem de escolhas L e R.
  • Chame de X o número de vezes que o bolso esquerdo foi escolhido até o instante em que descobrimos uma caixa vazia (contando a retirada que revelou o vazio). Chame de Y o número de vezes que o bolso direito foi escolhido até esse mesmo instante.
  • O evento “a primeira caixa vazia é o bolso esquerdo” significa que X = n+1 (foi escolhido n+1 vezes, as primeiras n retiraram fósforos, a última encontrou vazio) e Y \le n. Analogamente, se a primeira vazia for o bolso direito, então Y = n+1 e X \le n.
  • Se, por exemplo, a primeira vazia for o esquerdo e a outra (direita) tem exatamente k fósforos na descoberta, então a direita foi escolhida exatamente n-k vezes (porque começou com n e perdeu n-k fósforos). Assim, no caso “esquerdo vazio” temos X = n+1,\qquad Y = n-k.O total de retiradas até o instante (incluindo a retirada que revelou o vazio) é T = X+Y = (n+1) + (n-k) = 2n-k+1.

Passo 3

Caracterização em termos de sequências de L e R.
  • Para que o bolso esquerdo seja o primeiro a ser encontrado vazio e a direita fique com k fósforos, a sequência de escolhas deve ter as seguintes propriedades:
    1. Nas primeiras 2n-k escolhas (ou seja, antes da última retirada que revela o vazio) houve exatamente n escolhas L (essas consumiram todos os n fósforos do bolso esquerdo) e exatamente n-k escolhas R.
    2. A retirada 2n-k+1-ésima (a última) deve ser L (essa é a retirada que percebe o vazio no bolso esquerdo).
  • Portanto, a configuração desejada ocorre se, entre as primeiras 2n-k posições, houver exatamente n letras L e n-k letras R, e então a última letra for L.

Passo 4

Contagem e probabilidade do caso “esquerdo vazio com direita tendo k fósforos”.
  • Número de sequências possíveis para as primeiras 2n-k escolhas que contenham exatamente n L e n-k R é o coeficiente binomial \binom{2n-k}{n},porque escolhemos em quais n das 2n-k posições aparecem os L.
  • Cada sequência de 2n-k escolhas tem probabilidade (1/2)^{2n-k} (produtos de probabilidades 1/2 por escolha). A última escolha sendo L tem probabilidade adicional 1/2.
  • Logo a probabilidade do caso “esquerdo vazio e direita com k fósforos” é \binom{2n-k}{n}\,(1/2)^{2n-k}\cdot(1/2) = \binom{2n-k}{n}\,(1/2)^{2n-k+1}.

Passo 5

Considerando a simetria e somando os dois casos.
  • Pelo mesmo raciocínio, a probabilidade do caso “direito vazio e esquerdo com k fósforos” é idêntica, igual a \binom{2n-k}{n}\,(1/2)^{2n-k+1}.
  • Como os dois eventos (esquerdo vazio vs direito vazio) são disjuntos e cobrem todas as maneiras de obter a outra caixa com k fósforos no instante da primeira descoberta de caixa vazia, a probabilidade total pedida é a soma das duas: 2\cdot \binom{2n-k}{n}\,(1/2)^{2n-k+1} = \binom{2n-k}{n}\,(1/2)^{2n-k}.

Passo 6

Escrevendo a resposta final e comentando domínio.
  • Portanto, para k=0,1,2,\dots,n a probabilidade pedida vale \boxed{\,\displaystyle P(\text{outra caixa tem }k\text{ fósforos}) = \binom{2n-k}{n}\,2^{-(2n-k)}\, }.ó
  • Fora desse intervalo de k (isto é, para k<0 ou k>n) a probabilidade é 0.

Passo 7

Checagem rápida com casos especiais (sanidade).
  • Caso k=n (a outra caixa não foi tocada antes da descoberta): a fórmula dá \binom{n}{n}2^{-n}=2^{-n}.Interpretação: isso corresponde a escolher repetidamente o mesmo bolso n+1 vezes seguidas; somando os dois bolsos isso dá 2\cdot 2^{-(n+1)}=2^{-n}, que coincide com a fórmula total.
  • Caso k=0 (a outra também ficou vazia no momento): a fórmula dá \binom{2n}{n}2^{-2n},que é a probabilidade de, antes da última retirada que revela a primeira caixa vazia, cada bolso ter sido escolhido exatamente n vezes (situação simétrica).

Resposta

\displaystyle \binom{2n-k}{n}\,2^{-(2n-k)}

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