- O Problema de Banach. Um matemático carrega duas caixas de fósforos, uma no bolso esquerdo e outra no direito. Cada caixa contém inicialmente
fósforos. Cada vez que ele precisa de um fósforo, escolhe um bolso ao acaso. No momento em que ele retira uma caixa e percebe que ela está vazia, qual é a probabilidade de que a outra caixa contenha exatamente
fósforos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Duas caixas (bolsos) contendo inicialmente
fósforos cada. - A cada vez que ele precisa de um fósforo, escolhe um dos bolsos ao acaso, com probabilidade
para cada bolso, escolhas independentes. - O processo termina no instante em que ele retira uma caixa e percebe que ela está vazia (ou seja, a retirada revelou que esse bolso tinha
fósforos). - Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse momento em que encontra a primeira caixa vazia, a outra caixa contenha exatamente
fósforos?
Observações importantes que peguei do enunciado:
-
é um inteiro e necessariamente . - Não há informação sobre preferências: cada retirada é
(esquerdo) ou (direito) com probabilidade independente.
Passo 2
Traduzindo o problema para contagem de escolhas
e
.
- Chame de
o número de vezes que o bolso esquerdo foi escolhido até o instante em que descobrimos uma caixa vazia (contando a retirada que revelou o vazio). Chame de o número de vezes que o bolso direito foi escolhido até esse mesmo instante. - O evento “a primeira caixa vazia é o bolso esquerdo” significa que
(foi escolhido vezes, as primeiras retiraram fósforos, a última encontrou vazio) e . Analogamente, se a primeira vazia for o bolso direito, então e . - Se, por exemplo, a primeira vazia for o esquerdo e a outra (direita) tem exatamente
fósforos na descoberta, então a direita foi escolhida exatamente vezes (porque começou com e perdeu fósforos). Assim, no caso “esquerdo vazio” temos O total de retiradas até o instante (incluindo a retirada que revelou o vazio) é
Passo 3
Caracterização em termos de sequências de
e
.
- Para que o bolso esquerdo seja o primeiro a ser encontrado vazio e a direita fique com
fósforos, a sequência de escolhas deve ter as seguintes propriedades: - Nas primeiras
escolhas (ou seja, antes da última retirada que revela o vazio) houve exatamente escolhas (essas consumiram todos os fósforos do bolso esquerdo) e exatamente escolhas . - A retirada
-ésima (a última) deve ser (essa é a retirada que percebe o vazio no bolso esquerdo).
- Nas primeiras
- Portanto, a configuração desejada ocorre se, entre as primeiras
posições, houver exatamente letras e letras , e então a última letra for .
Passo 4
Contagem e probabilidade do caso “esquerdo vazio com direita tendo
fósforos”.
- Número de sequências possíveis para as primeiras
escolhas que contenham exatamente e é o coeficiente binomial porque escolhemos em quais das posições aparecem os . - Cada sequência de
escolhas tem probabilidade (produtos de probabilidades por escolha). A última escolha sendo tem probabilidade adicional . - Logo a probabilidade do caso “esquerdo vazio e direita com
fósforos” é
Passo 5
Considerando a simetria e somando os dois casos.
- Pelo mesmo raciocínio, a probabilidade do caso “direito vazio e esquerdo com
fósforos” é idêntica, igual a - Como os dois eventos (esquerdo vazio vs direito vazio) são disjuntos e cobrem todas as maneiras de obter a outra caixa com
fósforos no instante da primeira descoberta de caixa vazia, a probabilidade total pedida é a soma das duas:
Passo 6
Escrevendo a resposta final e comentando domínio.
- Portanto, para
a probabilidade pedida vale - Fora desse intervalo de
(isto é, para ou ) a probabilidade é .
Passo 7
Checagem rápida com casos especiais (sanidade).
- Caso
(a outra caixa não foi tocada antes da descoberta): a fórmula dá Interpretação: isso corresponde a escolher repetidamente o mesmo bolso vezes seguidas; somando os dois bolsos isso dá , que coincide com a fórmula total. - Caso
(a outra também ficou vazia no momento): a fórmula dá que é a probabilidade de, antes da última retirada que revela a primeira caixa vazia, cada bolso ter sido escolhido exatamente vezes (situação simétrica).