1. O Problema dos Pontos. Dois jogadores, A e B, interrompem um jogo onde as chances de ganhar cada rodada são iguais. Para vencer o prêmio total, o jogador A precisa ganhar mais 2 rodadas, enquanto o jogador B precisa ganhar mais 3 rodadas. Como o prêmio deve ser dividido de forma justa entre eles?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dois jogadores A e B jogam rodadas independentes.
  • Cada rodada é justa: a chance de A vencer uma rodada é \tfrac{1}{2} e a chance de B vencer uma rodada é \tfrac{1}{2}.
  • No momento em que o jogo foi interrompido, falta para A ganhar mais 2 vitórias para levar todo o prêmio.
  • Para B ganhar o prêmio ele precisa de mais 3 vitórias.
  • Pergunta: como dividir o prêmio de forma justa entre A e B? (isto é, proporcional às probabilidades que teriam de ganhar se o jogo fosse continuado até o fim).

Passo 2

Escolha do método e ideias principais (explanação didática): vamos calcular a probabilidade de A ganhar o jogo se as rodadas continuarem até alguém atingir sua meta. A divisão justa do prêmio é dar a cada um uma fração proporcional à sua probabilidade de vencer.
Uma observação útil (muito usada no Problema dos Pontos): se A precisa de a vitórias e B precisa de b vitórias, então o número máximo de rodadas que ainda pode ser jogado é a+b-1. Aqui a=2 e b=3, logo o máximo é 2+3-1=4 rodadas. Explicação rápida do porquê: após a+b-1 rodadas não é possível que nenhum dos dois tenha alcançado sua meta — se ninguém tivesse alcançado, o total de vitórias somadas seria menor que a+b, mas em a+b-1 rodadas já foram distribuídas a+b-1 vitórias, então forçosamente alguém teria atingido sua meta antes desse limite. Assim precisamos considerar apenas sequências de até 4 rodadas.
Para calcular probabilidades contaremos as sequências possíveis em que A alcança suas 2 vitórias antes de B alcançar suas 3, usando combinatória simples: \binom{n}{k} conta de quantas maneiras k vitórias de A podem aparecer em n rodadas (ordens diferentes).

Passo 3

Probabilidade de A ganhar em exatamente 2 rodadas:
  • Para isso A precisa vencer as duas primeiras rodadas. A probabilidade de vitória de A em cada rodada é \tfrac{1}{2}, eventos independentes, logo
P(\text{\(A\) vence em 2})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Probabilidade de A ganhar em exatamente 3 rodadas:
  • Para que o segundo ganho de A ocorra na terceira rodada, nas duas primeiras deve haver exatamente 1 vitória de A (e 1 de B), e a terceira rodada deve ser vitória de A.
  • O número de maneiras de colocar exatamente 1 vitória de A nas primeiras 2 rodadas é \binom{2}{1}=2.
  • Cada sequência específica de 3 resultados tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^3.
  • Logo
P(\text{\(A\) vence em 3})=\binom{2}{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=2\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Probabilidade de A ganhar em exatamente 4 rodadas:
  • Para que o segundo ganho de A ocorra na quarta rodada, nas primeiras 3 rodadas A deve ter exatamente 1 vitória (caso contrário teria chegado a 2 antes ou B teria chegado a 3), e a quarta rodada deve ser vitória de A.
  • O número de maneiras de ter exatamente 1 vitória de A nas primeiras 3 rodadas é \binom{3}{1}=3.
  • Cada sequência de 4 resultados tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^4.
  • Logo
P(\text{\(A\) vence em 4})=\binom{3}{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^4=3\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{3}{16}.

Passo 6

Somando as probabilidades de todos os modos pelos quais A pode vencer (em 2, em 3 ou em 4 rodadas):
P(A)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{16}=\tfrac{4}{16}+\tfrac{4}{16}+\tfrac{3}{16}=\tfrac{11}{16}.
Em decimal isto é P(A)=0,6875.

Passo 7

Probabilidade de B ganhar é o complemento (ou pode ser calculada enumerando os casos onde B alcança 3 vitórias):
  • Pelo complemento,
P(B)=1-P(A)=1-\tfrac{11}{16}=\tfrac{5}{16}.
(Verificação rápida enumerando: B pode vencer em 3 rodadas com probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8} e em 4 rodadas em 3 sequências de probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^4, somando \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{16}=\tfrac{5}{16}.)

Passo 8

Interpretação final: dividir o prêmio proporcionalmente às probabilidades calculadas. Assim A deve receber \tfrac{11}{16} do prêmio e B deve receber \tfrac{5}{16} do prêmio.

Resposta

A:\\ \dfrac{11}{16} do prêmio
B:\\ \dfrac{5}{16} do prêmio

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