- O Problema dos Pontos. Dois jogadores,
e
, interrompem um jogo onde as chances de ganhar cada rodada são iguais. Para vencer o prêmio total, o jogador
precisa ganhar mais 2 rodadas, enquanto o jogador
precisa ganhar mais 3 rodadas. Como o prêmio deve ser dividido de forma justa entre eles?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dois jogadores
e jogam rodadas independentes. - Cada rodada é justa: a chance de
vencer uma rodada é e a chance de vencer uma rodada é . - No momento em que o jogo foi interrompido, falta para
ganhar mais vitórias para levar todo o prêmio. - Para
ganhar o prêmio ele precisa de mais vitórias. - Pergunta: como dividir o prêmio de forma justa entre
e ? (isto é, proporcional às probabilidades que teriam de ganhar se o jogo fosse continuado até o fim).
Passo 2
Escolha do método e ideias principais (explanação didática): vamos calcular a probabilidade de
ganhar o jogo se as rodadas continuarem até alguém atingir sua meta. A divisão justa do prêmio é dar a cada um uma fração proporcional à sua probabilidade de vencer.
Uma observação útil (muito usada no Problema dos Pontos): se
precisa de
vitórias e
precisa de
vitórias, então o número máximo de rodadas que ainda pode ser jogado é
. Aqui
e
, logo o máximo é
rodadas. Explicação rápida do porquê: após
rodadas não é possível que nenhum dos dois tenha alcançado sua meta — se ninguém tivesse alcançado, o total de vitórias somadas seria menor que
, mas em
rodadas já foram distribuídas
vitórias, então forçosamente alguém teria atingido sua meta antes desse limite. Assim precisamos considerar apenas sequências de até
rodadas.
Para calcular probabilidades contaremos as sequências possíveis em que
alcança suas
vitórias antes de
alcançar suas
, usando combinatória simples:
conta de quantas maneiras
vitórias de
podem aparecer em
rodadas (ordens diferentes).
Passo 3
Probabilidade de
ganhar em exatamente
rodadas:
- Para isso
precisa vencer as duas primeiras rodadas. A probabilidade de vitória de em cada rodada é , eventos independentes, logo
Passo 4
Probabilidade de
ganhar em exatamente
rodadas:
- Para que o segundo ganho de
ocorra na terceira rodada, nas duas primeiras deve haver exatamente vitória de (e 1 de ), e a terceira rodada deve ser vitória de . - O número de maneiras de colocar exatamente
vitória de nas primeiras rodadas é . - Cada sequência específica de
resultados tem probabilidade . - Logo
Passo 5
Probabilidade de
ganhar em exatamente
rodadas:
- Para que o segundo ganho de
ocorra na quarta rodada, nas primeiras rodadas deve ter exatamente vitória (caso contrário teria chegado a 2 antes ou teria chegado a 3), e a quarta rodada deve ser vitória de . - O número de maneiras de ter exatamente
vitória de nas primeiras rodadas é . - Cada sequência de
resultados tem probabilidade . - Logo
Passo 6
Somando as probabilidades de todos os modos pelos quais
pode vencer (em 2, em 3 ou em 4 rodadas):
Em decimal isto é
.
Passo 7
Probabilidade de
ganhar é o complemento (ou pode ser calculada enumerando os casos onde
alcança 3 vitórias):
- Pelo complemento,
(Verificação rápida enumerando:
pode vencer em 3 rodadas com probabilidade
e em 4 rodadas em
sequências de probabilidade
, somando
.)
Passo 8
Interpretação final: dividir o prêmio proporcionalmente às probabilidades calculadas. Assim
deve receber
do prêmio e
deve receber
do prêmio.