c) (4,-3,1) é um autovetor do operador
F(x, y, z)=(3 x+7 y+9 z,-4 x-5 y+z, 2 x+4 y+4 z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (4,-3,1) é autovetor do operador linear
F(x,y,z) = (,3x+7y+9z,;-4x-5y+z,;2x+4y+4z,)
e, em caso afirmativo, determinar o autovalor lambda tal que
F(4,-3,1)=lambda,(4,-3,1)

Passo 2

Vamos representar F pela matriz
A = 3 & 7 & 9 -4 & -5 & 1 2 & 4 & 4
de modo que para qualquer vetor v=(x,y,z) valha F(v)=A,v.

Passo 3

Calculamos
A 4-31 = 3cdot4 + 7cdot(-3) + 9cdot1 -4cdot4 + (-5)cdot(-3) + 1cdot1 2cdot4 + 4cdot(-3) + 4cdot1 = 12 -21 +9 -16 +15 +1 8 -12 +4 = 000

Passo 4

Como
F(4,-3,1)=A,(4,-3,1)^T=(0,0,0)
e (0,0,0)=0cdot(4,-3,1) com (4,-3,1)neq(0,0,0), concluímos que (4,-3,1) é de fato um autovetor de F associado ao autovalor
lambda = 0

Resposta

(4,-3,1) é autovetor de F correspondente ao autovalor lambda = 0.

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