F) Se a transformação linear F: R^m R^n é injetora então dim I m(F)=m. -

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma transformação linear Fcolon R^m to R^n que é injetora, e pede para mostrar que diml(Im(F)r)=m. O conteúdo necessário é o Teorema Núcleo–Imagem (ou Teorema da Dimensão).

Passo 2

O Teorema Núcleo–Imagem diz que, para qualquer transformação linear Fcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
dim(V)=diml(ker(F)r)+diml(Im(F)r)

Passo 3

Como F é injetora, seu núcleo é trivial:
ker(F)=0. Logo
diml(ker(F)r)=0.

Passo 4

Aplicando o Teorema Núcleo–Imagem em V=R^m,
m=diml(R^mr) =diml(ker(F)r)+diml(Im(F)r) =0+diml(Im(F)r),
portanto
diml(Im(F)r)=m.

Resposta

Verdadeiro.

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