A matriz do operador linear F: R^2 R^2 com relação à base B=(1,0) ;(1,4) é dada por [F]B=(ll1 & 1 5 & 1)
A) Sabendo que F(x, y)=(a x+b y, c x+d y), determine o valor das constantes a, b, c e d:
a=
b= square c= d= square

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear F:R^2toR^2 cuja matriz em relação à base
B=(1,0),,(1,4)
é
[F]B=1 & 15 & 1
Queremos encontrar os escalares a,b,c,d tais que, na base canônica,
F(x,y)=(a x+b y,;c x+d y)

Passo 2

Lembrando que, em [F]B, a primeira coluna 15 são as coordenadas de F(v1) na base B, com v1=(1,0). Logo,
F(v1)=1cdot v1+5cdot v2
com v2=(1,4). Em coordenadas canônicas,
F(1,0)=(1,0)+5,(1,4)=(1+5,;0+20)=(6,20)
Mas também F(1,0)=(acdot1+bcdot0,;ccdot1+dcdot0)=(a,c). Portanto
a=6, c=20

Passo 3

A segunda coluna 11 de [F]B são as coordenadas de F(v2) na base B. Logo,
F(v2)=1cdot v1+1cdot v2=(1,0)+(1,4)=(2,4)
em coordenadas canônicas. Por outro lado,
F(1,4)=(acdot1+bcdot4,;ccdot1+dcdot4)=(6+4b,;20+4d),
que deve ser igual a (2,4). Assim,
6+4b=2Longrightarrow b=-1,
20+4d=4Longrightarrow d=-4

Resposta

a =6
b =- 1
c =20
d =- 4

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