H) A transformação linear F: R^2 R^2 dada por F(x, y)=(a x+b y, c x+d y), com a d-b c neq 0 é inversivel.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear FcolonR^2toR^2 definida por
F(x,y) = (a,x + b,y,;c,x + d,y)
com a condição a,d - b,c neq 0. O conteúdo é teoria de matrizes e determinante: uma transformação linear em R^2 é invertível se, e somente se, o determinante da sua matriz é não nulo.

Passo 2

Escrevemos como multiplicação por uma matriz :
de modo que
O determinante de é
e pela hipótese , é invertível.]

Passo 3

Quando , a equação
tem solução única para todo . Isso mostra que é bijetora (injectiva e sobrejetiva) e, portanto, invertível.

Passo 4

A fórmula da inversa de uma matriz é
Assim, se , então
]

Resposta

F é invertível e sua inversa é
F^-1(x,y) = gl(d,x - b,ya,d - b,c,;-c,x + a,ya,d - b,cgr)

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