Quando C é o círculo |z|=2 descrito no sentido anti-horário,calcule:
\int_{C} \frac{z}{\left(9-z^{2}\right)(z+i)} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\frac{z}{\bigl(9 - z^{2}\bigr)(z + i)}\,dz
onde C é o círculo \lvert z\rvert=2 percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Definimos
f(z)=\frac{z}{(9 - z^{2})(z + i)}
e identificamos seus polos simples pela condição (9 - z^{2})(z + i)=0. Daí vêm
z^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad z=3,\,-3
e
z=-i.

Passo 3

Verificamos quais políngos satisfazem \lvert z\rvert<2. Como \lvert3\rvert=\lvert-3\rvert=3>2 e \lvert -i\rvert=1<2, apenas z=-i está dentro de C.

Passo 4

Calculamos o resíduo em z=-i. Como é polo simples,
\Res(f,-i) =\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{z}{(9 - z^{2})(z + i)} =\frac{-i}{9 - (-i)^{2}} =\frac{-i}{9 - (-1)} =\frac{-i}{10} =-\frac{i}{10}.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{C}f(z)\,dz =2\pi i\sum\Res(f) =2\pi i\Bigl(-\frac{i}{10}\Bigr) =\frac{2\pi(-i^{2})}{10} =\frac{2\pi}{10} =\frac{\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{5}

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