Quando C é o círculo |z|=2 descrito no sentido anti-horário,calcule:
\int_{C} \frac{z^{2}+2 z+1}{(z-1)(z+3 i)} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\frac{z^{2}+2z+1}{(z-1)(z+3i)}\,dz
onde C é o círculo \lvert z\rvert=2 percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema dos Resíduos, que diz que, para uma função meromorfa, a integral em contorno fechado é 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas ao contorno.

Passo 2

Primeiro, identificamos as singularidades da função
f(z)=\frac{z^{2}+2z+1}{(z-1)(z+3i)}
elas ocorrem onde o denominador zera, ou seja em z=1 e em z=-3i.

Passo 3

Agora verificamos quais estão dentro do círculo \lvert z\rvert<2: \lvert 1\rvert=1<2, logo z=1 está dentro. \lvert -3i\rvert=3>2, logo z=-3i está fora.
Portanto, só precisamos do resíduo em z=1.

Passo 4

Como z=1 é um polo simples, o resíduo é
\Res_{z=1}f(z) =\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z^{2}+2z+1}{(z-1)(z+3i)} =\frac{1^{2}+2\cdot1+1}{1+3i} =\frac{4}{1+3i}.
Racionalizando:
\frac{4}{1+3i} =\frac{4(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} =\frac{4(1-3i)}{1+9} =\frac{4(1-3i)}{10} =\frac{2}{5}-\frac{6}{5}i.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{C}f(z)\,dz =2\pi i\;\sum_{\substack{\text{pólos}\\text{internos}}}\Res f =2\pi i\;\Bigl(\frac{2}{5}-\frac{6}{5}i\Bigr).
Distribuindo:
2\pi i\cdot\frac{2}{5} =\frac{4\pi i}{5}, \quad 2\pi i\cdot\bigl(-\frac{6}{5}i\bigr) =-\frac{12\pi i^{2}}{5} =\frac{12\pi}{5}.
Somando,
\int_{C}f(z)\,dz =\frac{12\pi}{5}+\frac{4\pi}{5}\,i.

Resposta

\int_{C}\frac{z^{2}+2z+1}{(z-1)(z+3i)}\,dz =\frac{12\pi}{5}+\frac{4\pi}{5}\,i.

Exercícios relacionados