2.Sejam as funções f(z)=\frac{1}{z^{2}+4} e g(z)=\frac{1}{\left(z^{2}+4\right)^{2}} .Calcule o valor da integral ao longo do caminho fechado |z-i|=2 no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais \displaystyle \oint_{|z-i|=2}f(z)\,dz e \displaystyle \oint_{|z-i|=2}g(z)\,dz, onde
f(z)=\frac{1}{z^{2}+4}, \quad g(z)=\frac{1}{\bigl(z^{2}+4\bigr)^{2}},
ao longo do círculo \lvert z-i\rvert=2 no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema dos Resíduos, identificando as singularidades de cada função e determinando quais ficam dentro do círculo.

Passo 2

As equações z^{2}+4=0 têm raízes
z=\pm2i.
Portanto, tanto f quanto g têm singularidades em z=2i e z=-2i. O círculo \lvert z-i\rvert=2 contém somente a singularidade z=2i, pois \lvert2i - i\rvert = 1<2 e \lvert -2i - i\rvert = 3>2.

Passo 3

Para f(z) temos um polo simples em z=2i. O resíduo é
\Res\bigl(f,2i\bigr) =\lim_{z\to2i}(z-2i)\,\frac{1}{z^{2}+4} =\lim_{z\to2i}\frac{1}{z+2i} =\frac{1}{4i} =-\frac{i}{4}.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{|z-i|=2}f(z)\,dz =2\pi i\;\Res\bigl(f,2i\bigr) =2\pi i\;\Bigl(-\frac{i}{4}\Bigr) =\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Para g(z) temos um polo de ordem 2 em z=2i. Usamos a fórmula
\Res\bigl(g,2i\bigr) =\lim_{z\to2i}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-2i)^{2}g(z)\Bigr] =\lim_{z\to2i}\frac{d}{dz}\frac{1}{(z+2i)^{2}}.

Passo 6

Calculando a derivada,
\frac{d}{dz}\frac{1}{(z+2i)^{2}} =-2\,(z+2i)^{-3},
logo em z=2i:
\Res\bigl(g,2i\bigr) =-2\,(4i)^{-3} =-2\bigl(64\,i^{3}\bigr)^{-1} =-2/(-64i) =\frac{1}{32i} =-\frac{i}{32}.

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos em g:
\oint_{|z-i|=2}g(z)\,dz =2\pi i\;\Res\bigl(g,2i\bigr) =2\pi i\;\Bigl(-\frac{i}{32}\Bigr) =\frac{\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \oint_{|z-i|=2}f(z)\,dz=\frac{\pi}{2}, \quad \displaystyle \oint_{|z-i|=2}g(z)\,dz=\frac{\pi}{16}.

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