2.Sejam as funções
e
.Calcule o valor da integral ao longo do caminho fechado
no sentido positivo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais
e
, onde
ao longo do círculo
no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema dos Resíduos, identificando as singularidades de cada função e determinando quais ficam dentro do círculo.
Vamos usar o Teorema dos Resíduos, identificando as singularidades de cada função e determinando quais ficam dentro do círculo.
Passo 2
As equações
têm raízes
Portanto, tanto
quanto
têm singularidades em
e
. O círculo
contém somente a singularidade
, pois
e
.
Passo 3
Para
temos um polo simples em
. O resíduo é
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 5
Para
temos um polo de ordem 2 em
. Usamos a fórmula
Passo 6
Calculando a derivada,
logo em
:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos em
: