Quando C é o círculo |z|=2 descrito no sentido anti-horário,calcule:
\int_{C} \frac{z}{z^{2}+9} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\frac{z}{z^{2}+9}\,dz
onde C é o círculo \lvert z\rvert=2 orientado no sentido anti-horário.
O conteúdo necessário é análise de singularidades e aplicação do Teorema de Cauchy para integrais de funções analíticas.

Passo 2

Identificamos as singularidades da função
f(z)=\frac{z}{z^{2}+9}
resolvendo z^{2}+9=0, o que dá
z=\pm3\,i.
Ambos satisfazem \lvert \pm3\,i\rvert=3>2, portanto estão fora do círculo \lvert z\rvert=2.

Passo 3

Como f(z) é analítica em todo o interior e na fronteira de C (não há polos dentro de \lvert z\rvert<2), pelo Teorema de Cauchy temos
\int_{C}f(z)\,dz=0.

Resposta

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