Se C é o círculo |z|=2 com a orientação anti-horária, calcule integralC e^z^2(z-i)^4 d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralCe^z^2(z-i)^4,dz, sendo C o círculo |z|=2 orientado anti-horário. Esse é um problema de integração complexa, e vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas.

Passo 2

Como o ponto z0=i está dentro de C (pois |i|=1<2), podemos aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas:
integralCf(z)(z-z0)^n+1,dz = 2pi in!,f^(n)(z0)
Aqui temos n+1=4, logo n=3, e f(z)=e^z^2.

Passo 3

Para usar essa fórmula, calculamos as derivadas de f(z)=e^z^2:
f'(z)=2z,e^z^2,
f''(z)=(2+4z^2),e^z^2,
f'''(z)=(12z+8z^3),e^z^2 =4z(3+2z^2),e^z^2

Passo 4

Agora avaliamos em z=i: como i^2=-1 temos 3+2i^2=1, ficando
f'''(i)=4icdot1cdot e^i^2 =4i,e^-1

Passo 5

Substituímos n=3, f^(3)(i)=4i e^-1 e 3!=6 na fórmula de Cauchy:
integralCe^z^2(z-i)^4,dz = 2pi i6cdot4i,e^-1

Resposta

-tfrac4pi3e

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