Se
é o círculo
com a orientação antihorária, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral de contorno no plano complexo. O enunciado fala sobre o círculo $ C $ definido por $ |z - (2+i)| = 2 $ e a integral que queremos resolver é $ \int_{C} \frac{e{z{2}}}{z-2} , dz $. Vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especialmente o Teorema de Cauchy para integrais no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esse círculo $ C = |z - (2+i)| = 2 $. Esse círculo tem centro no ponto $ 2+i $ e raio 2. A orientação é antihorária, que é a padrão para integrais positivas no plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos identificar a função que está dentro da integral: $ \frac{e{z{2}}}{z - 2} $. Aqui, $ e{z{2}} $ é uma função inteira (ou seja, analítica em todo o plano complexo), e $ \frac{1}{z - 2} $ tem um ponto singular (um pólo) em $ z = 2 $.
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Cauchy, precisamos verificar se o ponto singular $ z = 2 $ está dentro do nosso círculo $ C $. Vamos calcular a distância entre o centro do círculo $ 2+i $ e o ponto $ 2 $:
Como o raio do círculo é 2 e a distância até o ponto $ z = 2 $ é 1, isso significa que $ z = 2 $ está dentro do círculo $ C $.
Passo 5
Agora que sabemos que $ z = 2 $ está dentro do contorno $ C $, podemos usar o Teorema de Cauchy para integrais de funções racionais. Esse teorema nos diz que:
onde $ f(z) $ é analítica dentro e sobre $ C $, e $ a $ é o ponto dentro de $ C $.
Passo 6
No nosso caso, $ f(z) = e{z{2}} $ e $ a = 2 $. Então, aplicando o teorema:
Resposta
A integral vale $ 2,\pi,i, e^{4} $.